推荐|旅行商问题（动态规划方法，超级详细的）

旅行商问题（动态规划方法，超级详细的）

25-03-07 18:02

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一、题目

一个售货员必须访问n个城市，恰好访问每个城市一次，并最终回到出发城市。
售货员从城市i到城市j的旅行费用是一个整数，旅行所需的全部费用是他旅行经过的的各边费用之和，而售货员希望使整个旅行费用最低。
（等价于求图的最短哈密尔顿回路问题）令G=(V, E)是一个带权重的有向图，顶点集V=(v0, v1, ..., vn-1)。从图中任一顶点vi出发，经图中所有其他顶点一次且只有一次，最后回到同一顶点vi的最短路径。

二、测试用例

其中1,2,3,4,5代表五个城市。此模型可抽象为图，可用邻接矩阵c表示，如下图所示：

三、动态规划方程

假设从顶点s出发，令d(i, V)表示从顶点i出发经过V(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s的最短路径长度。

推导：(分情况来讨论)

①当V为空集，那么 d(i, V) ，表示直接从i回到s了，此时 $d(i,V) = c_{is}$ 且 $(i\neq s)$

②如果V不为空，那么就是对子问题的最优求解。你必须在V这个城市集合中，尝试每一个，并求出最优解。

$d (i, V) = m i n (C_{i k} + d (k, V - (k))$

注： $c_{ik}$ 表示选择的城市和城市i的距离， d(k, V-(k)) 是一个子问题。

综上所述，TSP问题的动态规划方程就出来了：

四、用例分析

现在对问题定义中的例子来说明TSP的求解过程。(假设出发城市是 0城市)

这里只画出了d(1,{2,3,4}),由于篇幅有限这里就不画了。

①我们要求的最终结果是d(0,{1,2,3,4}),它表示，从城市0开始，经过{1,2,3,4}之中的城市并且只有一次，求出最短路径.。
②d(0,{1,2,3,4})是不能一下子求出来的，那么他的值是怎么得出的呢？看上图的第二层，第二层表明了d(0,{1,2,3,4})所需依赖的值。那么得出：

     ③d(1,{2,3,4})，d(2,{1,3,4})，d(3,{1,2,4})，d(4,{1,2,3})同样也不是一步就能求出来的，它们的解一样需要有依赖，就比如说d(1,{2,3,4})

      d(2,{1,3,4})，d(3,{1,2,4})，d(4,{1,2,3})同样需要这么求。

    ④按照上面的思路，只有最后一层的，当V为空集时，就可以满足 $d(i,V) = c_{is}$ 且 $(i\neq s)$ 该条件，直接求出dp数组部分的值。

五、数据结构

由上述动态规划公式d(i,V)表示从顶点i出发经过V(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s的最短路径长度。根据上述给的测试用例有5个城市编号0,1,2,3,4。那么访问n个城市，恰好访问每个城市一次，并最终回到出发城市的嘴短距离可表示为d(0,{1,2,3,4}),那么问题来了我们用什么数据结构表示d(i,V)，这里我们就可二维数据dp[N][M]来表示，N表示城市的个数，M表示集合的数量，即 $M = 2^{N-1}$ ,之所以这么表示因为集合V有 $2^{N-1}$ 个子集。根据测试用例可得出如下dp数组表格：

那么你们可能就有疑问了，为什么这么表示？这里说明一下比如集合{1,2,3,4}为什么用15表示，我们可以把集合中元素看成二进制1的位置（二进制从右开始看），1表示从右开始第一位为1,2表示从又开始第二位为1，所以集合{1,2,3,4}可表示二进制（1111）转化为十进制为15。再举个例子比如集合{1,3}表示为二进制为0101，十进制为5。所以我们求出dp[0][15]（通用表示dp[0][ $2^{N - 1} - 1$ ]）就是本题的最终解。

注意：

对于第y个城市，他的二进制表达为，1<<(y-1)。
对于数字x，要看它的第i位是不是1，那么可以通过判断布尔表达式 (((x >> (i - 1) ) & 1) == 1或者（x & (1<<(i-1))）!= 0的真值来实现。
由动态规划公式可知，需要从集合中剔除元素。假如集合用索引x表示，要剔除元素标号为i,我们异或运算实现减法，其运算表示为： x = x ^ (1<<(i - 1))。

六、最短路径顶点的计算

我们先计算dp[N][M]数组之后，我可以用dp数组来反向推出其路径。其算法思想如下：

比如在第一步时，我们就知道那个值最小，如下图所示：

因为dp[][]数组我们已经计算出来了，由计算可知C01+d(1,{2,3,4})最小，所以一开始从起始点0出发，经过1。接下来同样计算d(1,{2,3,4})

由计算可知C14+d(4,{2,3})所以0--->1---->4，接下来同理求d(4,{2,3})，这里就省略，读者可以自行计算。最终计算出来的路径为：0--->1--->4--->2--->3--->0

七、代码编写

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