动态规划经典题目——数塔问题

25-03-07 18:21

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一、题目

数塔问题：要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

二、解题思路

动态规划解题思路可详见另一篇文章。数塔中元素用二维数组a[][]表示

①定义状态

由题意可设dp[i][j]为第i层的第j个顶点到底层经过的最大数字和。

②定义状态转移方程

大家知道动态规划满足无后向性，即：每个阶段的决策仅受之前决策的影响，但是不影响之后各阶段的决策。所以我们可以从后往前推出状态转移方程（逆向思维），dp[0][0]等于第1层第1个数字到底层经过的最大数字和，它等于dp[1][0] + a[0][0]或dp[1][1] + a[0][0]中的最大的数值。我们可以公式化，得到如下状态转换方程：

dp[i][j] = max( dp[i+1][j] + dp[i+1][j+1] ) + a[i][j]

③确定边界

由状态定义我们可以得出当数字在最底层时，它到最底层就是数字本身，即可得出dp[i][j] = a[i][j] (0≤i,j≤N)

三、代码编写

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 class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">#include  class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="3"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> 
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="4"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">#define N 5
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="5"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">#define max(a,b) ((a>b)?a:b)
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 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="7"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">int main()
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="8"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">{
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="9"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    //保存数塔元素
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="10"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    int a[N][N] = { {9,0,0,0,0},
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="11"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">                    {12,15,0,0,0},
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="12"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">                    {10,6,8,0,0},
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="13"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">                    {2,18,9,5,0},
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="14"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">                    {19,7,10,4,16}};
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="15"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    //dp[i][j]为第i层的第j个顶点到底层经过的最大数字和
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="16"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    int dp[N][N] = {0};
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="17"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    //确定边界数值
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="18"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    int i,j;
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="19"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    for(i=0;i < N;i++){
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="20"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">        dp[N-1][i] = a[N-1][i];
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="21"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    }
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="22"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    //核心算法
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="23"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    for(i=N-2;i >= 0;i--){
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 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="25"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">            dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]) + a[i][j];
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="26"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">        }
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="27"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    }
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="28"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> 
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="29"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    printf("DP矩阵为：\n");
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="30"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    for(i=0;i < N;i++){
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="31"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">        for(j=0; j <= i ;j++){
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="32"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">             printf("%d ",dp[i][j]);
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="33"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">        }
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="34"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">        printf("\n");
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="35"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    }
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="36"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    printf("顶层到底层的经过的最大数字和为：%d",dp[0][0]);
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="37"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    return 0;
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="38"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">}

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四、运行结果

五、总结

动态规划需要满足无后向性，可用逆向思维推出状态转化方程，动态规划解题方法可详见另一篇文章。

>>

注：本文转载自blog.csdn.net的仁者乐山智者乐水的文章"https://blog.csdn.net/qq_39559641/article/details/98646820"。版权归原作者所有，此博客不拥有其著作权，亦不承担相应法律责任。如有侵权，请联系我们删除。

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