动态规划经典题目——0-1背包

25-03-07 18:21

3751

5732

blog.csdn.net

id="article_content" class="article_content clearfix"> id="content_views" class="htmledit_views">

一、题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

二、解题思路

动态规划解题思路可详见另一篇文章。

①定义状态

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。所以称为0-1背包。用子问题定义状态：即dp[i][j]表示前i件物品恰放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值。

②定义状态转移方程

大家知道动态规划满足无后向性，即：每个阶段的决策仅受之前决策的影响，但是不影响之后各阶段的决策。所以我们可以从后往前推出状态转移方程，我们考虑两种情况：

当背包已经装不下其它物品时，则满足dp[i][j] = dp[i-1][j],其中j < w[i](剩余物品的重量)。
当背包还能装下其它物品时，则满足dp[i][j] = dp[i-1][ j - w[i] ] + v[i]。

我们都知道装入背包方案有多种，要选择价值总和最大的方案，所以得出状态转移方程如下所示：

dp[i][j] = max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j - w[i] ] + v[i] )

这个方程与Floyd算法的状态转移方程非常相似，如果有兴趣可以搜索一下。

③确定边界

由状态定义我们可以得出当j = 0时，dp[i][0] = 0;

三、代码编写

 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="1">

class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">#include "stdio.h"

class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="2">

 class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">  class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="3"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">#define V 10
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="4"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">#define N 5
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="5"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="6"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> 
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="7"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> 
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="8"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> 
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="9"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">int main(){
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="10"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> 
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="11"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    //物品的价值和重量列表
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="12"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> 	int value[] = {0, 8 , 10 , 4 , 5 , 5};
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="13"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">	int weight[] = {0, 6 , 4 , 2 , 4 , 3};
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="14"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">	//dp[j]表示容量为j的背包可以获得的最大价值。
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="15"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">	int dp[N+1][V+1] = {0};
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="16"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">    //核心算法
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="17"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">	int i,j;
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="18"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">	for(i = 1; i <= N; i++){
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="19"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">		for(j = 1; j <= V; j++){
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="20"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">			if(j >= weight[i]){
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="21"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="22"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">			}
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="23"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">			else{
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="24"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">                dp[i][j] = dp[i-1][j];
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="25"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">			}
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="26"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">		}
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="27"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">	}
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="28"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> 
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="29"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">	printf("最大价值为：%d",dp[N][V]);
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="30"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">	return 0;
 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="31"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">}

class="hide-preCode-box">

class="hljs-button signin active def" data-title="登录复制" data-report-click="{"spm":"3001.10243"}" onclick="hljs.signin(event)">' class="code-edithtml " data-title="运行"> data-report-click="{"spm":"3001.10182","extra":{"index":0,"ab":"exp1"}}" class="code-edithtml-box code-edithtml-box0">运行>

四、运行结果

五、总结

动态规划需要满足无后向性，可用逆向思维推出状态转化方程，动态规划解题方法可详见另一篇文章。

>>

注：本文转载自blog.csdn.net的仁者乐山智者乐水的文章"https://blog.csdn.net/qq_39559641/article/details/98732317"。版权归原作者所有，此博客不拥有其著作权，亦不承担相应法律责任。如有侵权，请联系我们删除。

复制链接

发表评论

注册

评论记录：

未查询到任何数据！