一、题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

二、解题思路

动态规划解题思路可详见另一篇文章。

①定义状态

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。所以称为0-1背包。用子问题定义状态：即dp[i][j]表示前i件物品恰放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值。

②定义状态转移方程

大家知道动态规划满足无后向性，即：每个阶段的决策仅受之前决策的影响，但是不影响之后各阶段的决策。所以我们可以从后往前推出状态转移方程，我们考虑两种情况：

1. 当背包已经装不下其它物品时，则满足dp[i][j] = dp[i-1][j],其中j < w[i](剩余物品的重量)。
2. 当背包还能装下其它物品时，则满足dp[i][j] = dp[i-1][ j - w[i] ] + v[i]。

我们都知道装入背包方案有多种，要选择价值总和最大的方案，所以得出状态转移方程如下所示：

       dp[i][j] = max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j - w[i] ] + v[i] )

这个方程与Floyd算法的状态转移方程非常相似，如果有兴趣可以搜索一下。

③确定边界

由状态定义我们可以得出当j = 0时，dp[i][0] = 0;

三、代码编写

#include "stdio.h"
 
#define V 10
#define N 5
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
 
 
 
int main(){
 
    //物品的价值和重量列表
 	int value[] = {0, 8 , 10 , 4 , 5 , 5};
	int weight[] = {0, 6 , 4 , 2 , 4 , 3};
	//dp[j]表示容量为j的背包可以获得的最大价值。
	int dp[N+1][V+1] = {0};
    //核心算法
	int i,j;
	for(i = 1; i <= N; i++){
		for(j = 1; j <= V; j++){
			if(j >= weight[i]){
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
			}
			else{
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
			}
		}
	}
 
	printf("最大价值为：%d",dp[N][V]);
	return 0;
}
'
运行
运行

四、运行结果

五、总结

动态规划需要满足无后向性，可用逆向思维推出状态转化方程，动态规划解题方法可详见另一篇文章。