2025年数学建模美赛 A题分析（1）Testing Time: The Constant Wear On Stairs
2025年数学建模美赛 A题分析（2）楼梯磨损分析模型
2025年数学建模美赛 A题分析（3）楼梯使用方向偏好模型
2025年数学建模美赛 A题分析（4）楼梯使用人数模型

特别提示：

• 本文针对 2025年 A题进行分析，每天不断更新，建议收藏。
• 其它题目的分析详见【youcans 的数学建模课】 专栏。

2025年数学建模美赛 A题分析（4）楼梯使用人数模型

1. 问题概述

用于建造台阶的石材和其他材料经受着持续的长期磨损，并且这种磨损可能是不均匀的。

问题的任务是：开发一个模型，通过特定楼梯的磨损模式得出以下基本预测：

• 楼梯使用的频率。
• 使用楼梯时是否更倾向于某一方向。
• 同时使用楼梯的人数（例如，人们是否成对并排爬楼梯，还是单列行走）。

进一步地，假设已经获得楼梯的建造年代、使用方式以及建筑中日常生活模式的估算信息，需要回答以下问题：

• 磨损是否与现有信息一致？
• 楼梯的年龄及其估算的可靠性如何？
• 楼梯是否经历过维修或翻修？
• 能否确定材料的来源？例如，石材的磨损是否与考古学家认为的原始采石场材料一致？若使用木材，其磨损是否与假定使用的树种和年代相符？
• 有关楼梯典型每日使用人数的信息，以及是否有大量人群在短时间内使用，或少量人群长期使用的情况？

2. 楼梯使用人数模型

2.1 楼梯使用人数数学模型的建立

楼梯同时使用人数分析的目标是确定使用者是单人单列行走，还是多人并排行走，并量化同时使用的人数。可以通过磨损宽度和分布的模式来推导这一信息。

2.2 所需数据与测量方法

1. 必须测量的数据
   （1）楼梯踏面的磨损宽度分布
   获取每一级台阶磨损区域的宽度和深度，重点关注台阶中心、两侧的磨损模式。
   数据形式：二维磨损热力图或磨损宽度数据。
   （2）台阶的几何特性
   台阶的宽度和长度，确保模型能够匹配实际行走条件。
   （3）材料的均匀性
   验证台阶材料的均匀性，确保磨损速率一致。

2. 非破坏性测量方法
   激光扫描技术：高精度采集每一级台阶表面形状及磨损区域。
   图像处理技术：通过踏面照片识别磨损区域的边界，计算磨损宽度

3. 其他辅助信息
   使用的历史记录：如建筑物的使用时间、功能（宗教场所、住宅等）以及可能的高峰使用时期。

2.3 假设条件

1. 单路径假设
   假设人在行走时选择固定路径，且路径宽度直接与使用人数相关。

2. 均匀分布假设
   假设多人并排行走时，磨损分布在宽度方向上均匀。

3. 材料线性磨损假设
   假设磨损深度与行走人次呈线性关系，不考虑非线性效应。

3. 模型推导

3.1 基本概念

1. 磨损宽度与使用人数的关系
   假设磨损宽度 (?) 直接与同时使用人数 (?) 成正比：

$$w=n\ast w_{single}$$

其中：

• $w_{single}$ 表示单人行走时的磨损宽度（由实验确定）。
• $n$ 表示同时使用人数。

3.2 磨损宽度的计算

通过测量楼梯表面磨损的宽度，计算实际磨损区域的总宽度 $w_{total}$

$$w_{total}={\int }_{x1}^{x2}\delta (x)dx$$

其中：

• $\delta (x)$ 为沿台阶宽度方向的磨损深度分布。
• $[x1,x2]$为磨损区域的边界。

3.3 使用人数的模型

根据宽度与人数的比例关系，推导同时使用人数：

$$n=\frac{w_{total}}{w_{single}}$$

4. 实施步骤

1. 数据采集
   （1）扫描楼梯表面：使用激光扫描或3D建模获取台阶的表面形状数据，识别磨损区域。
   （2）测量宽度：分析扫描数据，确定每一级台阶的磨损宽度 $w_{total}$。
   （3）单人磨损宽度实验：模拟单人行走，测量单人造成的磨损宽度 $w_{single}$。

2. 参数计算
   （1）磨损宽度计算
   利用扫描或图像处理数据，计算每一级台阶的实际磨损宽度 $w_{total}$。
   （2）单人宽度标定
   在实验室中模拟单人行走，获取单人磨损宽度 $w_{single}$。
   （3）使用人数计算
   将 $w_{total}$ 和 $w_{single}$ 带入模型：
   $$n=\frac{w_{total}}{w_{single}}$$

5. 模型验证

1. 实验验证
   通过实验室模拟单人和多人行走行为，验证磨损宽度与人数的关系。

2. 实际数据验证
   对已有的历史人流记录与模型预测结果进行对比，验证人数估算的准确性。

6. 复杂场景扩展

1. 多路径行走
   若多人并排行走时出现多个独立路径，则磨损宽度分布呈多峰模式。此时同时使用人数可以通过以下公式计算

$$n=\sum _{i=1}^m\frac{w_i}{wsingle}$$

其中：

• $w_i$ ：每个独立路径的磨损宽度
• ?：路径总数

2. 时间分布的考虑
   如果历史记录表明高峰期和低谷期存在明显差异，可以引入时间加权因子 $t_k$

7. 模型结论

1. 模型的核心特点
   基于磨损宽度分布，推导楼梯同时使用人数。
   模型简单直观，易于扩展到复杂场景。

2. 改进方向
   若材料磨损速率非线性，可引入修正因子。
   结合楼梯使用记录，提高模型预测的精确性。

【未完待续，请继续关注】