数学|结合矩阵求解某一类型的极限

该“另类”的求解极限的方法，主要针对一类具有递推公式的数列，要求求解该类数列极限。该方法虽然比较抽象与特殊，但是当你据递推公式无法推导出相关的通项公式，可以尝试采用该方法，或许可以取到意想不到的结果。

一、第一类数列

我们针对具有形如下面这样的递推公式的数列

$x_{n}=p_{n-1}+qx_{n-2}$

且 $x_{0},x_{1}$ 已知， p,q 为常数且 $p\neq 0,q\neq 0,n=2,3,\cdots$

为了求解出通项公式，我们可以将递推公式写成矩阵形式，于是有

$\binom{x_{n}}{x_{n-1}}=\bigl(\begin{smallmatrix} p & q\\ 1& 0 \end{smallmatrix}\bigr)\binom{x_{n-1}}{x_{n-2}}=\cdots =\bigl(\begin{smallmatrix} p &q \\ 1& 0 \end{smallmatrix}\bigr)^{n-1}\binom{x_{1}}{x_{0}}$

接下来就可以运用线性代数的知识求出 $x_{n}$ 的通项公式，并进一步求出相应的极限。

二、第二类数列

针对该类型的数列我们这里介绍两种与矩阵相关的求解极限的方法。

针对具有形如下面这样的递推公式的数列

$\mathbf{\mathit{\textbf{}}x_{n}=\frac{ax_{n-1}+b}{cx_{n-1}+d}}$

且 $\mathbf{x_{0}}$ 已知， $\mathbf{c\neq 0,ad\neq cb,n=1,2\cdots}$

>>>>法一

我们令

$\mathbf{cx_{n-1}+d=\frac{y_{n-2}}{y_{n-1}}}$

于是我们求出

$\mathbf{x_{n-1}=\frac{1}{c}(\frac{y_{n-1}}{y_{n-2}}-d)}$

则可以推出

$\mathbf{x_{n}=\frac{1}{c}\left ( \frac{y_{n}}{y_{n-1}} -d\right )}$

进一步我们可以得出

$\mathbf{\frac{1}{c}\left ( \frac{y_{n}}{y_{n-1}}-d \right )=\left ( \frac{a}{c}\left ( \frac{y_{n-1}}{y_{n-2}}-d\right )+b \right )\cdot \frac{y_{n-2}}{y_{n-1}}}$

我们对这个式子进行整理，可以得到

$\mathbf{y_{n}=(a+d)y_{n-1}+(bc-ad)y_{n-2}}$

这个递推公式就和我们介绍的第一类数列要求的递推公式一致，接着我们按照第一类数列求解的方式进行求解，然后进一步求出相应的极限。

>>>>法二

我们据递推公式可以得出

$\mathbf{x_{1}=\frac{ax_{0}+b}{cx_{0}+d}}$

我们设该式子对应的矩阵为

$\mathbf{A=\bigl(\begin{smallmatrix} a &b \\ c& d \end{smallmatrix}\bigr)}$

我们结合递推公式，逐次递推，可以得到

$\mathbf{x_{n}=\frac{a_{n}x_{0}+b_{n}}{c_{n}x_{0}+d_{n}}}$

所对应的矩阵为

$\mathbf{B=\bigl(\begin{smallmatrix} a_{n} &b_{n} \\ c_{n}& d_{n} \end{smallmatrix}\bigr)}$

现在可以通过数学归纳法证明得出 $B=A^{n}$ ，（证明在此不列出）然后我们可以求出 $A^{n}$ 来进一步求出 $x_{n}$ 的表达式，接着就可以求出相关的极限了。

三、总结

上述针对两种类型的数列极限提出的矩阵解法比较抽象与偏颇，实际解题中如果数列的递推公式并不复杂且可以简单地求解出数列的通项公式，就不必采用这些方法。一旦对于数列极限毫无头绪或者求解数列通项公式比较困难，不妨尝试一下这种矩阵求解法。该方法将求解极限与线性代数的知识相结合，综合性比较高，可以用于扩展思路，锻炼思维，推荐熟练掌握之后再运用于实际解题当中。上述介绍与论证，仅供学习与交流。

一、第一类数列

二、第二类数列

>>>>法一

>>>>法二

三、总结

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