二、行列式的几何意义

行列式的几何意义主要体现在以下两方面：

1. 体积缩放因子：
   行列式的绝对值表示矩阵变换对单位体积的放缩比例。例如，若矩阵 ( A ) 的行列式为 ( |A| = 6 )，则该矩阵将单位面积放大 6 倍。

2. 方向：
   行列式的正负值表示线性变换是否改变了坐标系的方向。

   • (|A| > 0)：未翻转方向；
   • (|A| < 0)：翻转了方向（如镜像变换）。

三、行列式的性质

行列式具有以下性质：

1. 交换任意两行（或列），行列式符号会改变；
2. 行列式为零表示矩阵不可逆；
3. 如果矩阵的某行（列）全为零，则行列式为零；
4. 两行（或列）成比例，行列式为零；
5. 行列式的值与矩阵的大小无关，但与矩阵的行和列的内容密切相关。

四、JavaScript 实现行列式计算

以下是一个递归实现任意阶矩阵行列式的 JavaScript 示例：

function determinant(matrix) {
    const n = matrix.length;

    // 检查是否为方阵
    if (!matrix.every(row => row.length === n)) {
        throw new Error("矩阵必须是方阵");
    }

    // 基础情况：1x1 矩阵
    if (n === 1) {
        return matrix[0][0];
    }

    // 基础情况：2x2 矩阵
    if (n === 2) {
        return matrix[0][0] * matrix[1][1] - matrix[0][1] * matrix[1][0];
    }

    // 递归计算行列式
    let det = 0;
    for (let col = 0; col < n; col++) {
        const subMatrix = matrix.slice(1).map(row => row.filter((_, j) => j !== col));
        det += matrix[0][col] * determinant(subMatrix) * (col % 2 === 0 ? 1 : -1);
    }
    return det;
}

// 测试
const matrix = [
    [1, 2, 3],
    [0, 4, 5],
    [1, 0, 6],
];

console.log("行列式的值是:", determinant(matrix)); // 输出: -22
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