NURBS蒙皮/放样曲面生成算法
参考资料
《The NURBS Book 2nd》中文版（清华大学出版社）
学习NURBS的经典书籍，对于NURBS相关的定义与算法进行了详细介绍，并对算法给出了类C风格的代码描述。在书的10.3节中，对生成蒙皮曲面的思路进行了介绍。
github仓库：tinynurbs
tinynurbs仓库地址
轻量级的NURBS库，定义了NURBS相关的数据结构，并实现了如NURBS曲线曲面求值、求切向、求法向、节点插入等基本算法，但没有实现高级曲面构造算法（如蒙皮曲面）。
问题引入
蒙皮/放样
给定空间中的一组NURBS曲线，生成一张经过它们的NURBS曲面，这一过程可以形象地看作是对由曲线形成的骨架蒙上一层皮，因此被称为蒙皮（skinning）或放样（lofting）。蒙皮只是放样的新名词，二者的含义是等价的。
算法思路
对于这组NURBS曲线（常被称为截面曲线），首先需要进行一定的预处理：
- 如果这组曲线的次数（degree）不统一，使用升阶算法令其统一
（次数=阶数-1，degree指次数，但常用阶数一词描述曲线） - 如果这组曲线的节点向量（knots）不统一，使用节点细化算法令其统一
- 对同阶且节点向量相同的曲线组，使用蒙皮算法
NURBS_Surface Skinning(vector<NURBS_Curve>curves){
//参考《The NURBS Book 2nd》5.5节
if(各曲线阶数不统一){
//将所有曲线的阶数升到与最高阶的曲线相同
newDegree = max(curves.degree);
DegreeElevateCurve(curves,newDegree);
}
//参考《The NURBS Book 2nd》5.3节
if(各曲线节点向量不统一){
//合并各曲线节点向量
new_knots = merge_knots(curves,knots);
//令各曲线的节点向量改为新节点向量
RefineKnotVectCurve(curves,new_knots);
}
//参考《The NURBS Book 2nd》10.3节
skinSurface = BuildSkinSurface(curves);
return skinSurface；
}
- 1
- 2
- 3
- 4
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- 18
- 19
- 20
- 21
本文将重点讨论完成预处理后的情况，即对同阶且节点向量相同的曲线组生成蒙皮曲面，对于升阶和节点细化算法则仅作简单介绍。
蒙皮曲面生成算法
算法思路
tips：本文采用的NURBS数据结构及属性/方法命名与tinynurbs库一致。
要确定一个NURBS曲面，需要定义以下属性：
- u方向次数（degree_u）
- v方向次数（degree_v）
- u方向节点向量（knots_u）
- v方向节点向量（knots_v）
- 曲面控制点（cotrol_points）
- 曲面控制点的权重（weights）
以输入的曲线组的方向为u方向，蒙皮的方向为v方向，根据输入的曲线组可以直接确定蒙皮曲面的以下属性：
//各曲线的阶数和节点向量均相同，这就是预处理的意义
skinSurface.degree_u = curve.degree;
skinSurface.knots_u = curve.knots;
- 1
- 2
- 3
对于剩下的属性，分别采用以下方法得到：
- v方向次数（degree_v）：任意选取，只要小于曲线数即可
- v方向节点向量（knots_v）：参考《The NURBS Book 2nd》中公式10.8和9.8
- 曲面控制点（cotrol_points）和曲面控制点的权重（weights）：将原曲线组的每列（v方向）控制点作为型值点，根据计算knots_v时得到的参数和节点向量进行曲线插值，反求控制点（参考《The NURBS Book 2nd》例9.1）
《The NURBS Book 2nd》10.3节描述这一过程的原文为：
基于B样条曲线，蒙皮曲面的构造过程如下，令
C k w ( u ) = ∑ i = 0 n N i , p ( u ) P i , k w ( k = 0 , 1 , . . . , K ) C_{k}^{w}(u) =\sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u)P_{i,k}^{w}\quad\quad\quad(k=0,1,...,K) Ckw(u)=∑i=0nNi,p(u)Pi,kw(k=0,1,...,K)
为有理或非有理的截面曲线。
注：即曲线组内共有0 ~ K条曲线，每条曲线有0 ~ n个控制点。
在 v v v方向，选择次数 q q q，确定参数 { v ˉ k } , ( k = 0 , . . . , K ) \left \{\bar v_{k} \right \},(k=0,...,K) {vˉk},(k=0,...,K)和节点矢量 V V V。
然后，根据这些参数和节点矢量对截面曲线的控制点进行 n + 1 n+1 n+1次曲线插值，即得到蒙皮曲面的控制点 Q i , j w Q_{i,j}^{w} Qi,jw。
具体地， Q i , j w Q_{i,j}^{w} Qi,jw是插值于 P i , 0 w , . . . , P i , K w P_{i,0}^{w},...,P_{i,K}^{w} Pi,0w,...,Pi,Kw的 q q q次曲线的第 j j j个控制点。
注：即蒙皮曲面的每列控制点，由对原曲线组的每列控制点插值得到。
注意，即使在截面曲线 C k w ( u ) C_{k}^{w}(u) Ckw(u)中只有一条是有理曲线，在 v v v方向对 P i , k w P_{i,k}^{w} Pi,kw的插值也要在四维空间中进行；否则，仅需插值三维点 P i , k w P_{i,k}^{w} Pi,kw
注：即应首先将控制点(x,y,z)变为带权控制点(wx,wy,wz,w)
计算v方向节点向量
计算参数 { v ˉ k } \left \{\bar v_{k} \right \} {vˉk}
首先，需要计算参数
{
v
ˉ
k
}
\left \{\bar v_{k} \right \}
{vˉk}，其表示每条截面曲线在
v
v
v方向所对应的参数。
根据《The NURBS Book 2nd》公式10.8，
{
v
ˉ
k
}
\left \{\bar v_{k} \right \}
{vˉk}的计算方法如下：
v ˉ 0 = 0 , v ˉ K = 1 \bar v_{0}=0,\bar v_{K}=1 vˉ0=0,vˉK=1
v ˉ k = v ˉ k − 1 + 1 n + 1 ∑ i = 0 n ∣ P i , k w − P i , k − 1 w ∣ d i ( k = 1 , 2 , . . . , K − 1 ) \bar v_{k}=\bar v_{k-1}+\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}\frac{\left | P_{i,k}^{w}- P_{i,k-1}^{w} \right |}{d_{i}}\quad\quad\quad(k=1,2,...,K-1) vˉk=vˉk−1+n+11∑i=0ndi∣Pi,kw−Pi,k−1w∣(k=1,2,...,K−1)
这里 d i d_{i} di表示 P i , 0 w , . . . , P i , K w P_{i,0}^{w},...,P_{i,K}^{w} Pi,0w,...,Pi,Kw的总弦长，即 d i = ∣ P i , 1 w − P i , 0 w ∣ + ∣ P i , 2 w − P i , 1 w ∣ + . . . + ∣ P i , K w − P i , K − 1 w ∣ d_{i}=\left | P_{i,1}^{w}- P_{i,0}^{w} \right |+\left | P_{i,2}^{w}- P_{i,1}^{w} \right |+...+\left | P_{i,K}^{w}- P_{i,K-1}^{w} \right | di= Pi,1w−Pi,0w + Pi,2w−Pi,1w +...+ Pi,Kw−Pi,K−1w
注：曲线组内共有0 ~ K条曲线，每条曲线有0 ~ n个控制点，第k条曲线的第i个控制点
P
i
,
k
w
P_{i,k}^{w}
Pi,kw
v
ˉ
0
=
0
,
v
ˉ
K
=
1
\bar v_{0}=0,\bar v_{K}=1
vˉ0=0,vˉK=1表明了蒙皮曲面在
v
v
v方向将以第一条与最后一条截面线作为边界，接下来我们来理解
v
ˉ
k
\bar v_{k}
vˉk的表达式。
{
v
ˉ
k
}
\left \{\bar v_{k} \right \}
{vˉk}表示截面曲线在
v
v
v方向的参数值，其中第
k
k
k条曲线的参数值
v
ˉ
k
\bar v_{k}
vˉk比第
k
−
1
k-1
k−1条曲线的参数值
v
ˉ
k
−
1
\bar v_{k-1}
vˉk−1增加了
1
n
+
1
∑
i
=
0
n
∣
P
i
,
k
w
−
P
i
,
k
−
1
w
∣
d
i
(
k
=
1
,
2
,
.
.
.
,
K
−
1
)
\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}\frac{\left | P_{i,k}^{w}- P_{i,k-1}^{w} \right |}{d_{i}}\quad\quad\quad(k=1,2,...,K-1)
n+11∑i=0ndi∣Pi,kw−Pi,k−1w∣(k=1,2,...,K−1)
而
∣
P
i
,
k
w
−
P
i
,
k
−
1
w
∣
\left | P_{i,k}^{w}- P_{i,k-1}^{w} \right |
Pi,kw−Pi,k−1w
表示第k条曲线的第i个控制点
P
i
,
k
w
P_{i,k}^{w}
Pi,kw和第k-1条曲线的第i个控制点
P
i
,
k
−
1
w
P_{i,k-1}^{w}
Pi,k−1w间的距离，
d
i
d_{i}
di表示所有曲线的第i个控制点间的距离之和，因此
∣
P
i
,
k
w
−
P
i
,
k
−
1
w
∣
d
i
\frac{\left | P_{i,k}^{w}- P_{i,k-1}^{w} \right |}{d_{i}}
di∣Pi,kw−Pi,k−1w∣描述了前后两条曲线的间距在总距离中的占比。
对0 ~ n号控制点分别计算该比例后再取平均（除以
n
+
1
n+1
n+1），以该值作为截面曲线的参数增加值。
std::vector<double> v;
v.push_back(0); //v_0=0;
double v_pre = 0;
for(int k = 1; k < K; k++) {
double sum = 0; //sum(P/d)
for(int i = 0; i <= n; i++) {
//第k条曲线的第i个控制点和第k-1条曲线的第i个控制点的距离
double P_distance = distance(P[k][i], P[k-1][i]);
//所有曲线第i个控制点间的距离之和
double sum_P_distance = 0; //di
for(int l = 1;l <= K; l++) {
sum_P_distance += distance(P[l][i], P[l-1][i]
}
sum += P_distance / sum_P_distance;
}
double v_k = v_pre + sum / (n+1);
v.push_back(v_k);
v_pre = v_k;
}
v.push_back(1); //v_K=1
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计算节点向量
根据《The NURBS Book 2nd》公式9.8，可以用如下方法计算节点向量
U
=
{
u
0
,
u
1
,
.
.
.
,
u
m
}
U=\left \{u_{0},u_{1},...,u_{m}\right \}
U={u0,u1,...,um}：
u
0
=
u
1
=
.
.
.
=
u
p
=
0
,
u
m
−
p
=
u
m
−
p
−
1
=
.
.
.
=
u
m
=
1
u_{0}=u_{1}=...=u_{p}=0,\quad u_{m-p}=u_{m-p-1}=...=u_{m}=1
u0=u1=...=up=0,um−p=um−p−1=...=um=1
u
j
+
p
=
1
p
∑
i
=
j
j
+
p
−
1
v
ˉ
i
(
j
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
−
p
)
u_{j+p}=\frac{1}{p}\sum_{i=j}^{j+p-1}\bar v_{i}\quad\quad (j=1,2,...,n-p)
uj+p=p1∑i=jj+p−1vˉi(j=1,2,...,n−p)
其中，
p
p
p为v方向次数，即前文提到的degree_v。
节点值由参数值取平均得到，用这种方式定义的节点矢量能很好地反应参数值的分布情况。
计算曲面控制点及权重
计算曲面控制点的方法可以用一句话概括：以截面曲线组v方向的每列控制点为型值点，反求曲面在v方向的每列控制点。这一过程被称为曲线插值，具体来说流程如下：
截面曲线组中共有
(
K
+
1
)
(K+1)
(K+1)条曲线，每条曲线均具有
(
n
+
1
)
(n+1)
(n+1)个控制点。以所有曲线的第
i
(
i
=
0
,
1
,
.
.
.
,
n
)
i\quad(i=0,1,...,n)
i(i=0,1,...,n)个控制点为一列，构造一条经过这列控制点的NURBS曲线。这条新构造的曲线的控制点就是蒙皮曲面的第
i
i
i列控制点。
这一过程是曲线求值的逆过程，因此通过解线性方程组即可求得蒙皮曲面的控制点。
注意：虽然需要对每一列控制点都进行曲线插值，但只需要计算一次参数和节点向量，这对于每列控制点都是统一的。
为简化描述，前文常使用控制点一词替代带权控制点。实际上，即使在截面曲线组中只有一条是有理曲线，在
v
v
v方向对
P
i
,
k
w
P_{i,k}^{w}
Pi,kw的插值也要在四维空间中进行。因此，最后需要将计算得到的蒙皮曲面的带权控制点还原为控制点
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)和权值
w
w
w。
预处理截面曲线
升阶算法
参考《The NURBS Book 2nd》5.5节
节点细化算法
参考《The NURBS Book 2nd》5.3节
节点插入是指一次插入单个节点，而节点细化是指一次插入多个节点。显然，节点细化可以通过多次应用节点插入算法来实现，但节点细化存在更有效的算法。这一算法的实现，可以参考《The NURBS Book 2nd》中的算法A5.4。
对于节点插入算法，tinynurbs库进行了实现，是include/tinynurbs/core/modify.h中的curveKnotInsert方法。如果插入节点较少，也可以通过多次调用该方法来实现节点细化。
实验结果
截面曲线：
蒙皮曲面：
NURBS蒙皮/放样曲面生成算法
参考资料
《The NURBS Book 2nd》中文版（清华大学出版社）
学习NURBS的经典书籍，对于NURBS相关的定义与算法进行了详细介绍，并对算法给出了类C风格的代码描述。在书的10.3节中，对生成蒙皮曲面的思路进行了介绍。
github仓库：tinynurbs
tinynurbs仓库地址
轻量级的NURBS库，定义了NURBS相关的数据结构，并实现了如NURBS曲线曲面求值、求切向、求法向、节点插入等基本算法，但没有实现高级曲面构造算法（如蒙皮曲面）。
问题引入
蒙皮/放样
给定空间中的一组NURBS曲线，生成一张经过它们的NURBS曲面，这一过程可以形象地看作是对由曲线形成的骨架蒙上一层皮，因此被称为蒙皮（skinning）或放样（lofting）。蒙皮只是放样的新名词，二者的含义是等价的。
算法思路
对于这组NURBS曲线（常被称为截面曲线），首先需要进行一定的预处理：
- 如果这组曲线的次数（degree）不统一，使用升阶算法令其统一
（次数=阶数-1，degree指次数，但常用阶数一词描述曲线） - 如果这组曲线的节点向量（knots）不统一，使用节点细化算法令其统一
- 对同阶且节点向量相同的曲线组，使用蒙皮算法
NURBS_Surface Skinning(vector<NURBS_Curve>curves){
//参考《The NURBS Book 2nd》5.5节
if(各曲线阶数不统一){
//将所有曲线的阶数升到与最高阶的曲线相同
newDegree = max(curves.degree);
DegreeElevateCurve(curves,newDegree);
}
//参考《The NURBS Book 2nd》5.3节
if(各曲线节点向量不统一){
//合并各曲线节点向量
new_knots = merge_knots(curves,knots);
//令各曲线的节点向量改为新节点向量
RefineKnotVectCurve(curves,new_knots);
}
//参考《The NURBS Book 2nd》10.3节
skinSurface = BuildSkinSurface(curves);
return skinSurface；
}
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本文将重点讨论完成预处理后的情况，即对同阶且节点向量相同的曲线组生成蒙皮曲面，对于升阶和节点细化算法则仅作简单介绍。
蒙皮曲面生成算法
算法思路
tips：本文采用的NURBS数据结构及属性/方法命名与tinynurbs库一致。
要确定一个NURBS曲面，需要定义以下属性：
- u方向次数（degree_u）
- v方向次数（degree_v）
- u方向节点向量（knots_u）
- v方向节点向量（knots_v）
- 曲面控制点（cotrol_points）
- 曲面控制点的权重（weights）
以输入的曲线组的方向为u方向，蒙皮的方向为v方向，根据输入的曲线组可以直接确定蒙皮曲面的以下属性：
//各曲线的阶数和节点向量均相同，这就是预处理的意义
skinSurface.degree_u = curve.degree;
skinSurface.knots_u = curve.knots;
- 1
- 2
- 3
对于剩下的属性，分别采用以下方法得到：
- v方向次数（degree_v）：任意选取，只要小于曲线数即可
- v方向节点向量（knots_v）：参考《The NURBS Book 2nd》中公式10.8和9.8
- 曲面控制点（cotrol_points）和曲面控制点的权重（weights）：将原曲线组的每列（v方向）控制点作为型值点，根据计算knots_v时得到的参数和节点向量进行曲线插值，反求控制点（参考《The NURBS Book 2nd》例9.1）
《The NURBS Book 2nd》10.3节描述这一过程的原文为：
基于B样条曲线，蒙皮曲面的构造过程如下，令
C k w ( u ) = ∑ i = 0 n N i , p ( u ) P i , k w ( k = 0 , 1 , . . . , K ) C_{k}^{w}(u) =\sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u)P_{i,k}^{w}\quad\quad\quad(k=0,1,...,K) Ckw(u)=∑i=0nNi,p(u)Pi,kw(k=0,1,...,K)
为有理或非有理的截面曲线。
注：即曲线组内共有0 ~ K条曲线，每条曲线有0 ~ n个控制点。
在 v v v方向，选择次数 q q q，确定参数 { v ˉ k } , ( k = 0 , . . . , K ) \left \{\bar v_{k} \right \},(k=0,...,K) {vˉk},(k=0,...,K)和节点矢量 V V V。
然后，根据这些参数和节点矢量对截面曲线的控制点进行 n + 1 n+1 n+1次曲线插值，即得到蒙皮曲面的控制点 Q i , j w Q_{i,j}^{w} Qi,jw。
具体地， Q i , j w Q_{i,j}^{w} Qi,jw是插值于 P i , 0 w , . . . , P i , K w P_{i,0}^{w},...,P_{i,K}^{w} Pi,0w,...,Pi,Kw的 q q q次曲线的第 j j j个控制点。
注：即蒙皮曲面的每列控制点，由对原曲线组的每列控制点插值得到。
注意，即使在截面曲线 C k w ( u ) C_{k}^{w}(u) Ckw(u)中只有一条是有理曲线，在 v v v方向对 P i , k w P_{i,k}^{w} Pi,kw的插值也要在四维空间中进行；否则，仅需插值三维点 P i , k w P_{i,k}^{w} Pi,kw
注：即应首先将控制点(x,y,z)变为带权控制点(wx,wy,wz,w)
计算v方向节点向量
计算参数 { v ˉ k } \left \{\bar v_{k} \right \} {vˉk}
首先，需要计算参数
{
v
ˉ
k
}
\left \{\bar v_{k} \right \}
{vˉk}，其表示每条截面曲线在
v
v
v方向所对应的参数。
根据《The NURBS Book 2nd》公式10.8，
{
v
ˉ
k
}
\left \{\bar v_{k} \right \}
{vˉk}的计算方法如下：
v ˉ 0 = 0 , v ˉ K = 1 \bar v_{0}=0,\bar v_{K}=1 vˉ0=0,vˉK=1
v ˉ k = v ˉ k − 1 + 1 n + 1 ∑ i = 0 n ∣ P i , k w − P i , k − 1 w ∣ d i ( k = 1 , 2 , . . . , K − 1 ) \bar v_{k}=\bar v_{k-1}+\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}\frac{\left | P_{i,k}^{w}- P_{i,k-1}^{w} \right |}{d_{i}}\quad\quad\quad(k=1,2,...,K-1) vˉk=vˉk−1+n+11∑i=0ndi∣Pi,kw−Pi,k−1w∣(k=1,2,...,K−1)
这里 d i d_{i} di表示 P i , 0 w , . . . , P i , K w P_{i,0}^{w},...,P_{i,K}^{w} Pi,0w,...,Pi,Kw的总弦长，即 d i = ∣ P i , 1 w − P i , 0 w ∣ + ∣ P i , 2 w − P i , 1 w ∣ + . . . + ∣ P i , K w − P i , K − 1 w ∣ d_{i}=\left | P_{i,1}^{w}- P_{i,0}^{w} \right |+\left | P_{i,2}^{w}- P_{i,1}^{w} \right |+...+\left | P_{i,K}^{w}- P_{i,K-1}^{w} \right | di= Pi,1w−Pi,0w + Pi,2w−Pi,1w +...+ Pi,Kw−Pi,K−1w
注：曲线组内共有0 ~ K条曲线，每条曲线有0 ~ n个控制点，第k条曲线的第i个控制点
P
i
,
k
w
P_{i,k}^{w}
Pi,kw
v
ˉ
0
=
0
,
v
ˉ
K
=
1
\bar v_{0}=0,\bar v_{K}=1
vˉ0=0,vˉK=1表明了蒙皮曲面在
v
v
v方向将以第一条与最后一条截面线作为边界，接下来我们来理解
v
ˉ
k
\bar v_{k}
vˉk的表达式。
{
v
ˉ
k
}
\left \{\bar v_{k} \right \}
{vˉk}表示截面曲线在
v
v
v方向的参数值，其中第
k
k
k条曲线的参数值
v
ˉ
k
\bar v_{k}
vˉk比第
k
−
1
k-1
k−1条曲线的参数值
v
ˉ
k
−
1
\bar v_{k-1}
vˉk−1增加了
1
n
+
1
∑
i
=
0
n
∣
P
i
,
k
w
−
P
i
,
k
−
1
w
∣
d
i
(
k
=
1
,
2
,
.
.
.
,
K
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1
)
\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}\frac{\left | P_{i,k}^{w}- P_{i,k-1}^{w} \right |}{d_{i}}\quad\quad\quad(k=1,2,...,K-1)
n+11∑i=0ndi∣Pi,kw−Pi,k−1w∣(k=1,2,...,K−1)
而
∣
P
i
,
k
w
−
P
i
,
k
−
1
w
∣
\left | P_{i,k}^{w}- P_{i,k-1}^{w} \right |
Pi,kw−Pi,k−1w
表示第k条曲线的第i个控制点
P
i
,
k
w
P_{i,k}^{w}
Pi,kw和第k-1条曲线的第i个控制点
P
i
,
k
−
1
w
P_{i,k-1}^{w}
Pi,k−1w间的距离，
d
i
d_{i}
di表示所有曲线的第i个控制点间的距离之和，因此
∣
P
i
,
k
w
−
P
i
,
k
−
1
w
∣
d
i
\frac{\left | P_{i,k}^{w}- P_{i,k-1}^{w} \right |}{d_{i}}
di∣Pi,kw−Pi,k−1w∣描述了前后两条曲线的间距在总距离中的占比。
对0 ~ n号控制点分别计算该比例后再取平均（除以
n
+
1
n+1
n+1），以该值作为截面曲线的参数增加值。
std::vector<double> v;
v.push_back(0); //v_0=0;
double v_pre = 0;
for(int k = 1; k < K; k++) {
double sum = 0; //sum(P/d)
for(int i = 0; i <= n; i++) {
//第k条曲线的第i个控制点和第k-1条曲线的第i个控制点的距离
double P_distance = distance(P[k][i], P[k-1][i]);
//所有曲线第i个控制点间的距离之和
double sum_P_distance = 0; //di
for(int l = 1;l <= K; l++) {
sum_P_distance += distance(P[l][i], P[l-1][i]
}
sum += P_distance / sum_P_distance;
}
double v_k = v_pre + sum / (n+1);
v.push_back(v_k);
v_pre = v_k;
}
v.push_back(1); //v_K=1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
计算节点向量
根据《The NURBS Book 2nd》公式9.8，可以用如下方法计算节点向量
U
=
{
u
0
,
u
1
,
.
.
.
,
u
m
}
U=\left \{u_{0},u_{1},...,u_{m}\right \}
U={u0,u1,...,um}：
u
0
=
u
1
=
.
.
.
=
u
p
=
0
,
u
m
−
p
=
u
m
−
p
−
1
=
.
.
.
=
u
m
=
1
u_{0}=u_{1}=...=u_{p}=0,\quad u_{m-p}=u_{m-p-1}=...=u_{m}=1
u0=u1=...=up=0,um−p=um−p−1=...=um=1
u
j
+
p
=
1
p
∑
i
=
j
j
+
p
−
1
v
ˉ
i
(
j
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
−
p
)
u_{j+p}=\frac{1}{p}\sum_{i=j}^{j+p-1}\bar v_{i}\quad\quad (j=1,2,...,n-p)
uj+p=p1∑i=jj+p−1vˉi(j=1,2,...,n−p)
其中，
p
p
p为v方向次数，即前文提到的degree_v。
节点值由参数值取平均得到，用这种方式定义的节点矢量能很好地反应参数值的分布情况。
计算曲面控制点及权重
计算曲面控制点的方法可以用一句话概括：以截面曲线组v方向的每列控制点为型值点，反求曲面在v方向的每列控制点。这一过程被称为曲线插值，具体来说流程如下：
截面曲线组中共有
(
K
+
1
)
(K+1)
(K+1)条曲线，每条曲线均具有
(
n
+
1
)
(n+1)
(n+1)个控制点。以所有曲线的第
i
(
i
=
0
,
1
,
.
.
.
,
n
)
i\quad(i=0,1,...,n)
i(i=0,1,...,n)个控制点为一列，构造一条经过这列控制点的NURBS曲线。这条新构造的曲线的控制点就是蒙皮曲面的第
i
i
i列控制点。
这一过程是曲线求值的逆过程，因此通过解线性方程组即可求得蒙皮曲面的控制点。
注意：虽然需要对每一列控制点都进行曲线插值，但只需要计算一次参数和节点向量，这对于每列控制点都是统一的。
为简化描述，前文常使用控制点一词替代带权控制点。实际上，即使在截面曲线组中只有一条是有理曲线，在
v
v
v方向对
P
i
,
k
w
P_{i,k}^{w}
Pi,kw的插值也要在四维空间中进行。因此，最后需要将计算得到的蒙皮曲面的带权控制点还原为控制点
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)和权值
w
w
w。
预处理截面曲线
升阶算法
参考《The NURBS Book 2nd》5.5节
节点细化算法
参考《The NURBS Book 2nd》5.3节
节点插入是指一次插入单个节点，而节点细化是指一次插入多个节点。显然，节点细化可以通过多次应用节点插入算法来实现，但节点细化存在更有效的算法。这一算法的实现，可以参考《The NURBS Book 2nd》中的算法A5.4。
对于节点插入算法，tinynurbs库进行了实现，是include/tinynurbs/core/modify.h中的curveKnotInsert方法。如果插入节点较少，也可以通过多次调用该方法来实现节点细化。
实验结果
截面曲线：
蒙皮曲面：
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