稀疏编码系列：
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之前几次讲到了ScSPM，以及改进的LLC。SPM是不带结构性的稀疏编码，而LLC是考虑了结构性的稀疏编码。这次，我想更加全面地介绍一些结构性稀疏的内容。文章的最后会给出几个典型的例子，附加源代码(matlab版本的)和引文的pdf，供大家实验。
Data representation（不仅仅局限于图像）往往基于如下最小化问题：
（1）
其中X是观测到的数据的特征矩阵
，D是字典
，Z是字典上的描述
。约束项
和
使得字典dictionary和描述code具有一定结构性。当D给定时，确定Z的过程叫做representation persuit。当D和Z同时未知时，确定D就是dictionary learning的问题。
稀疏表示，通常对Z做约束，使得Z中的每一列只能取少量的非0系数。其中最简单的约束项就是
（2）
这时问题就变成了LASSO。K-means + Hard-VQ则是一种更严格的稀疏编码，相比L1-norm的约束，Hard-VQ引入了严重的重建误差，所以效果会比较差。这是介绍ScSPM和LLC时候的内容了，这里简单重复一下。
LASSO被LLC改进的一个很重要原因，就是缺少smooth，其潜在的原因便是Z中的非0元素缺少结构信息（unstructured sparse coding）。所以，后面很多论文的工作就是提出带结构性的稀疏模型。我们将字典D中的每一个码字称为dictionary atoms。令
表示为D中一些码字的集合，并将所有这类集合定义为G，即
。G中每一个group可以overlap也可以不overlap（这就对应于不同的group sparse model）。而约束项可以表示为：
（3）
其中
是
的子向量（只取了group中的元素）。可以看出，对每一个group内部，利用了L2-norm。由于L2-norm本身不小于0，故group之间其实是L1-norm。这样的约束造成了group选择特性，即group成组地取0或不取0。这样仍然不够完美，因为group内部的各个atom不能满足稀疏性。于是就有方法提出，在（3）式之后再加（2）式作为约束，以保证group内的稀疏性，即：
（4）
可以看出当
且各
，（3）就退化成了lasso。
关于常见的一些结构性稀疏，列举如下：
Hierarchical Sparse Coding[code | read more]，认为非0的系数之间存在层次结构，即group与group之间要么不overlap，如果overlap则一个group必会包含另一个group。一种典型的层次结构就是tree结构
Overlapping group sparse coding[code |read more]，则将约束relax，即允许group之间相互overlap。这个模型据说在genetic data的描述中十分有效，大家不妨试试
Graph-Guided Sparse Coding[code |read more]，建立一个graph，graph中各结点是dictionary中的各个atom。Graph-Guided不同于以上的group sparse coding，它可以加入更加复杂的结构信息。它的形式是：
（5）
不同就不同在
，这里
。从直观上理解，dictionary中的每个atom被视为图中的一个节点，而
则代表节点之间边的权重。而权重是可以做很多文章的，比如考虑atom与atom之间在语义层次上的关联、结构层次上的关联，等等。
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作者：jiang1st2010
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