算法可以发掘本质，如：
一，若干师傅和徒弟互有好感，有好感的师徒可以结对学习。师傅和徒弟都只能参加一个对子。如何让对子最多。
二，有无限多1X2和2X1的骨牌，某个棋盘若干格子坏了，如何在没有坏的格子放足够多骨牌。
三，某个单色图，1表示前前景，0表示后景色。每次操作可以将一个1，变成0。如何在最少得操作情况下，使得没有两个1相邻（四连通）。
四，若干路人，有些人是熟人，如何选出最多的人参加实验。为了避免熟人影响实验的效果，参加的人不能是熟人。
一二是二分图的最大匹配，三是二分图的最小点覆盖，四是二分图最大独立集。 而这三者是等效问题。

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涉及知识点

数论 数学 分类讨论

LeetCoce1611. 使整数变为 0 的最少操作次数

给你一个整数 n，你需要重复执行多次下述操作将其转换为 0 ：
翻转 n 的二进制表示中最右侧位（第 0 位）。
如果第 (i-1) 位为 1 且从第 (i-2) 位到第 0 位都为 0，则翻转 n 的二进制表示中的第 i 位。
返回将 n 转换为 0 的最小操作次数。
示例 1：
输入：n = 3
输出：2
解释：3 的二进制表示为 “11”
“11” -> “01” ，执行的是第 2 种操作，因为第 0 位为 1 。
“01” -> “00” ，执行的是第 1 种操作。
示例 2：
输入：n = 6
输出：4
解释：6 的二进制表示为 “110”.
“110” -> “010” ，执行的是第 2 种操作，因为第 1 位为 1 ，第 0 到 0 位为 0 。
“010” -> “011” ，执行的是第 1 种操作。
“011” -> “001” ，执行的是第 2 种操作，因为第 0 位为 1 。
“001” -> “000” ，执行的是第 1 种操作。
提示：
0 <= n <= 10⁹

数论

两种方式其实是一种：
如果是最低位，可以翻转。
如果有一位比它低，后边必须是1。
如果有两位比它低，后边必须是10。
如果有三位比它低，后边必须是100。
…

消除高位时，比它低的位必须是指定值。先低位后高位没有好处。所以先处理最高位。
分以下情况：
一，0,1。直接n。
二，n只有一个二进制位是1。这1后面的0转成1…0…。在将这个1消掉。
三，只有2个1，且挨着一起，消掉高位的1。
四，2个1，不挨着。低位1的前一位变成1，自身变成0。
五，2个以上1，除1的最高位和次高位，其它全为0。

翻转是可逆的，所以a到b和b到a的操作次数完全一样。

2024年4月11补充

从最高位开始消除，消除高位时，低位必须符合以前的要求。$⟺$ 对低位的操作全部或部分无效。
假定最高位是i1，则i1-1位必须是1，小于i1-1的位全部为0。
i1-1位的1的来源：
a,i1-1位本来就是1。
b,从i2（i2 c,最低位的0变为1,再移过来。

将i2位的移到i2+1的过程：
d，确保比i2低的位全部为0。
e，将i2+1的0变成1。
f,将i2为1设置为0。
性质一：如果存在i2 性质二：如果i3

代码

核心代码

class Solution {
public:
	int minimumOneBitOperations(int n) {
		return Rec(n);
	}
	int Rec(int n)
	{
		if (n <= 1)
		{
			return n;
		}
		if (m_data.count(n))
		{
			return m_data[n];
		}
		int iLowBit = n & (-n);
		 int iOther = n - iLowBit;
		if (0 == iOther)
		{//只有一位是1: 0变成n/2后 ，将iLowBit消掉，变成n/2,变成0。 n1 变成n2和n2变成需要的步骤完全一样，逆运算，成立。
			return m_data[n] = Rec(n / 2) + 1 + Rec(n / 2);
		}
		if (iLowBit * 2== iOther)
		{//只有两个1，且挨着一起，方式二消除
			return	m_data[n] = 1 + Rec(n - 2*iLowBit);
		}
		while (iOther & (iOther - 1))
		{
			iLowBit = iOther & (-iOther);
			iOther -= iLowBit;
		}
		const int iNew = iOther + iLowBit;
		if (iNew == n)
		{
			return m_data[n] = 1 + Rec(iOther + iLowBit * 2) + Rec(iLowBit);
		}
		return m_data[n] = Rec(n - iNew) + Rec(iNew);
	}
	unordered_map<int, int> m_data;
};

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测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}

}

int main()
{	
	vector<int> balls;
	
	{
		Solution sln;
		vector<int> nums = {3,6,2,4,5,7};
		vector<int> ans = {2,4,3,7,6,5};
		vector<int> ret;
		for (const auto& n : nums )
		{
			ret.emplace_back(sln.minimumOneBitOperations(n));
		}
		Assert(ret, ans);
	}


	
}

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2023年2月

class Solution {
public:
int minimumOneBitOperations(int n) {
if (n < 2)
{
return n;
}
if (m_n.count(n))
{
return m_n[n];
}
int iMaxBitValue = GetMaxBitValue(n);
const int iDest = iMaxBitValue >> 1;
const int iSrc = n - iMaxBitValue;
return m_n[n] = Change2(iSrc, iDest) + 1 + minimumOneBitOperations(iDest);
}
int Change2(int iSrc, int iDest)
{
if (iSrc == iDest)
{
return 0;
}
if (1 == iDest)
{
return 1;
}
if (m_change2[iSrc].count(iDest))
{
return m_change2[iSrc][iDest];
}
if (iSrc & iDest)
{
return minimumOneBitOperations(iSrc - iDest);
}
const int iRet = 1 + Change2(iSrc, iDest >> 1) + minimumOneBitOperations(iDest >> 1);
return m_change2[iSrc][iDest] =iRet;
}
inline int GetMaxBitValue(int n )
{
int iMaxBitValue = n;
while (iMaxBitValue&(iMaxBitValue - 1))
{
iMaxBitValue = iMaxBitValue&(iMaxBitValue - 1);
}
return iMaxBitValue;
}
std::unordered_map m_n;
std::unordered_map> m_change2;
};

扩展阅读

视频课程

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下载

想高屋建瓴的学习算法，请下载《喜缺全书算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。