【LetMeFly】2944.购买水果需要的最少金币数：动态规划（O(n^2)复杂度，非最优算法）

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/minimum-number-of-coins-for-fruits/

给你一个 下标从 1 开始的 整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示你购买第 i 个水果需要花费的金币数目。

水果超市有如下促销活动：

• 如果你花费 prices[i] 购买了下标为 i 的水果，那么你可以免费获得下标范围在 [i + 1, i + i] 的水果。

注意 ，即使你 可以 免费获得水果 j ，你仍然可以花费 prices[j] 个金币去购买它以获得它的奖励。

请你返回获得所有水果所需要的 最少 金币数。

示例 1：

输出：4

解释：

• 用 prices[0] = 3 个金币购买第 1 个水果，你可以免费获得第 2 个水果。
• 用 prices[1] = 1 个金币购买第 2 个水果，你可以免费获得第 3 个水果。
• 免费获得第 3 个水果。

请注意，即使您可以免费获得第 2 个水果作为购买第 1 个水果的奖励，但您购买它是为了获得其奖励，这是更优化的。

示例 2：

输出：2

解释：

• 用 prices[0] = 1 个金币购买第 1 个水果，你可以免费获得第 2 个水果。
• 免费获得第 2 个水果。
• 用 prices[2] = 1 个金币购买第 3 个水果，你可以免费获得第 4 个水果。
• 免费获得第 4 个水果。

示例 3：

输出：39

解释：

• 用 prices[0] = 26 个金币购买第 1 个水果，你可以免费获得第 2 个水果。
• 免费获得第 2 个水果。
• 用 prices[2] = 6 个金币购买第 3 个水果，你可以免费获得第 4，5，6（接下来的三个）水果。
• 免费获得第 4 个水果。
• 免费获得第 5 个水果。
• 用 prices[5] = 7 个金币购买第 6 个水果，你可以免费获得第 7 和 第 8 个水果。
• 免费获得第 7 个水果。
• 免费获得第 8 个水果。

请注意，即使您可以免费获得第 6 个水果作为购买第 3 个水果的奖励，但您购买它是为了获得其奖励，这是更优化的。

提示：

• 1 <= prices.length <= 1000
• 1 <= prices[i] <= 105

解题方法：动态规划

创建buy数组和notBuy数组，其中：

1. buy[i]代表购买下标为i的水果话，获得[0, i]的水果所需的最小花费
2. notBuy[i]代表不购买下标为i的水果话，获得[0, i]的水果所需的最小花费

因此很容易想到状态转移方程：

1. 购买下标为i的水果的话，可以在购买和不购买i - 1这两种方案中，选择最优的那个：$buy[i]=\min (buy[i-1],notBuy[i-1])+prices[i]$
2. 不购买下标为i的水果的话，可以在购买了下标为$[\lfloor \frac{i}{2}\rfloor ,i)$的水果的基础上，免费获得下标为i的水果： n o t B u y [ i ] = min ⁡ j = ⌊ i 2 ⌋ i − 1 { b u y [ j ] } notBuy[i]=\min\limits_{j=\lfloor\frac{i}2\rfloor}^{i-1}\{buy[j]\} notBuy[i]=j=⌊2i​⌋mini−1​{buy[j]}

最终，buy[n - 1]和notBuy[n - 1]中最小的那个即为所求。

疑难解答

初始值怎么确定？

初始值buy[0] = notBuy[0] = prices[0]，因为第一个水果无法通过购买其他水果获赠得到，所以第一个水果必须购买。

为什么$buy[i]=\min (buy[i-1],notBuy[i-1])+prices[i]$，而不是$buy[i]=notBuy[i-1]+prices[i]$？

读者问题的核心在于是否有必要使用min操作判断buy[i - 1]和notBuy[i - 1]二者中的最小值。

直觉告诉我们，似乎不买i - 1会比买i - 1省钱，似乎notBuy[i - 1]一定会小于buy[i - 1]。

其实不然，因为我们要获得所有的水果，所以不买水果3的话，就一定要买水果2从而获赠水果3。但是水果2可能十分贵，不如购买水果1和3而令水果2作为赠品。

时空复杂度分析

• 时间复杂度$O(n^2)$，其中$n=len(prices)$
• 空间复杂度$O(n)$

AC代码

C++

/*
 * @Author: LetMeFly
 * @Date: 2025-01-24 13:02:37
 * @LastEditors: LetMeFly.xyz
 * @LastEditTime: 2025-01-24 14:05:03
 */
class Solution {
public:
    int minimumCoins(vector<int>& prices) {
        vector<int> buy(prices.size()), notBuy(prices.size());
        buy[0] = notBuy[0] = prices[0];
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            buy[i] = min(notBuy[i - 1], buy[i - 1]) + prices[i];  // 不买3的话必须买2，因此buy[2]不一定大于notBuy[2]
            notBuy[i] = 1000000000;
            for (int j = i / 2; j < i; j++) {
                notBuy[i] = min(notBuy[i], buy[j]);
            }
        }
        return min(buy.back(), notBuy.back());
    }
};

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