引言

上一节介绍了$\text{Glodstein}$准则$(\text{Glodstein Condition})$及其弊端。本节将针对该弊端，介绍$\text{Wolfe}$准则$(\text{Wolfe Condition})$。

回顾：

$\text{Armijo}$准则及其弊端

在当前迭代步骤中，为了能够得到更精炼的$\varphi (\alpha )$选择范围，$\text{Armijo}$准则$(\text{Armijo Condition})$提出一种关于$\varphi (\alpha )$的筛选方式，使其比$\varphi (\alpha )<f(x_k)$更加严格：
Armijo Condition :  { ϕ ( α ) < L ( α ) = f ( x k ) + C 1 ⋅ [ ∇ f ( x k ) ] T P k ⋅ α C 1 ∈ ( 0 , 1 ) ext{Armijo Condition : }

$$egin{cases} phi(alpha) < mathcal L(alpha) = f(x_k) + mathcal C_1 cdot [ abla f(x_k)]^T mathcal P_k cdot alpha \ quad \ mathcal C_1 in (0,1) end{cases}$$ Armijo Condition : ⎩ ⎨ ⎧​ϕ(α)<L(α)=f(xk​)+C1​⋅[∇f(xk​)]TPk​⋅αC1​∈(0,1)​
这种操作产生的弊端是：${\mathcal{C}}_1$在取值过程中，可能出现数量较少的、并且并非$\varphi (\alpha )$主要部分的选择空间。见下图：

这种情况可能导致：
下面的两种情况都指向同一个问题:$\mathcal{L}(\alpha )$所划分的$\alpha$范围从整个$\varphi (\alpha )$角度观察，是片面的、局部的。

• 可选择的$\alpha$范围较小；
• 该小范围内的$\alpha$结果，其对应的$\varphi (\alpha )$并不优质。
  这里的‘优质’是指与整个$\varphi (\alpha )$函数结果相比都属于一个较小的结果。最优质的自然是${\alpha }^{\ast }=\underset{\alpha >0}{\mathrm{argmin}}\varphi (\alpha )$,但我们在每次迭代过程中并不执著于${\alpha }^{\ast }$，仅希望选择出的$\alpha$结果能够有效地使 { f ( x k ) } k = 0 ∞ {f(x_{k})}_{k=0}^{infty} {f(xk​)}k=0∞​收敛到最优值$f^{\ast }$。

$\text{Glodstein}$准则及其弊端

针对$\text{Armijo}$准则的问题，$\text{Glodstein}$准则在其基础上添加一个下界：
Glodstein Condition :  { f ( x k ) + ( 1 − C ) ⋅ [ ∇ f ( x k ) ] T P k ⋅ α ⏟ Lower Bound ≤ ϕ ( α ) ≤ f ( x k ) + C ⋅ [ ∇ f ( x k ) ] T P k ⋅ α C ∈ ( 0 , 1 2 ) ext{Glodstein Condition : }

$$egin{cases} egin{aligned} & underbrace{f(x_k) + (1 - mathcal C) cdot [ abla f(x_k)]^T mathcal P_k cdot alpha}_{ ext{Lower Bound}} leq phi(alpha) leq f(x_k) + mathcal C cdot [ abla f(x_k)]^T mathcal P_k cdot alpha \ & mathcal C in left(0,frac{1}{2} ight) end{aligned} end{cases}$$ Glodstein Condition : ⎩ ⎨ ⎧​​Lower Bound f(xk​)+(1−C)⋅[∇f(xk​)]TPk​⋅α​​≤ϕ(α)≤f(xk​)+C⋅[∇f(xk​)]TPk​⋅αC∈(0,21​)​​
其中分别描述上界、下界的划分函数：

• $\text{Upper Bound : }\begin{array}{r}{\mathcal{L}}_{\mathcal{U}}(\alpha )=f(x_k)+\mathcal{C}\cdot [\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k\cdot \alpha \end{array}$
• $\text{Lower Bound : }{\mathcal{L}}_{\mathcal{L}}(\alpha )=f(x_k)+(1-\mathcal{C})\cdot [\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k\cdot \alpha$

关于 f ( x k ) + 1 2 [ ∇ f ( x k ) ] T P k ⋅ α

$$egin{aligned}f(x_k) + frac{1}{2} [ abla f(x_k)]^T mathcal P_k cdot alphaend{aligned}$$ f(xk​)+21​[∇f(xk​)]TPk​⋅α​对称。这能保证满足该范围的$\alpha$结果，其对应的$\varphi (\alpha )$总是位于$\varphi (\alpha )$的核心部分，而不是片面的、局部的部分。见下图：
其中两条绿色实线之间区域内的$\varphi (\alpha )$结果相比$\text{Armijo}$准则，其描述的范围更加核心。

但$\text{Goldstein}$准则自身同样存在弊端：当参数$\mathcal{C}$靠近$\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}$时，对应上下界包含的$\varphi (\alpha )$结果极少。从而可能使一些优质$\alpha$结果丢失。见下图：

$\text{Wolfe Condition}$

首先，我们可以发现一个关于$\text{Armijo}$准则与$\text{Goldstein}$准则的共同问题：被选择的仅仅是满足划分边界条件的$\alpha$结果，而被选择的$\alpha$结果是否存在被选择的意义是未知的。
换句话说，基于这两种准则选择出的$\alpha$结果仅仅是因为：

• 该$\alpha$对应的$\varphi (\alpha )$位于决策边界$\mathcal{L}(\alpha )=f(x_k)+{\mathcal{C}}_1\cdot [\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k\cdot \alpha$的下方$(\text{Armijo Condition})$;
• 该$\alpha$对应的$\varphi (\alpha )$位于上决策边界${\mathcal{L}}_{\mathcal{U}}(\alpha )$与下决策边界${\mathcal{L}}_{\mathcal{L}}(\alpha )$所围成的范围之间$(\text{Glodstein Condition})$。

这意味着：我们确实得到了若干$\alpha$结果，但是这些结果是否优质属于未知状态。

我们尝试从满足$\text{Armijo}$准则的基础上，通过某种规则剔除掉部分没有竞争力的$\alpha$结果，从而在剩余结果中找到优质的$\alpha$结果。见下图：

初始状态下，我们找到了一个${\mathcal{C}}_1\in (0,1)$，并描述出了它的划分边界$\mathcal{L}(\alpha )$；由于$\mathcal{L}(\alpha )$的斜率${\mathcal{C}}_1\cdot [\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k$必然大于$l(\alpha )$的斜率$[\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k$，因此从$\alpha =0$出发，找到切线斜率与$\mathcal{L}(\alpha )$斜率相同的点：
下图中的绿色虚线表示切线斜率与$\mathcal{L}(\alpha )$斜率相同的$\alpha$点，短绿线表示寻找过程，点$\mathcal{A}$表示满足条件的切点。

通过观察可以发现：点$\mathcal{A}$必然不是极值点(虽然看起来有点像~)，因为该点处的斜率$\ne 0$。这里能够确定：从$[0,f(x_k)]$到$\mathcal{A}$点这一段函数内的所有点相比于$\mathcal{A}$都没有竞争力。而这些点的切线斜率${\varphi }^{\prime }(\alpha )$满足：
$$[\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k\le {\varphi }^{\prime }(\alpha )\le {\mathcal{C}}_1\cdot [\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k$$

关于仅与参数${\mathcal{C}}_1$相关的武断做法

如果将这些没有竞争力的点去除掉，保留剩余的点，结合$\text{Armijo}$准则，会有如下的步长$\alpha$选择方式：

• 其中$\begin{array}{r}{\varphi }^{\prime }(\alpha )=\frac{\partial f(x_k+\alpha \cdot {\mathcal{P}}_k)}{\partial \alpha }=[\nabla f(x_k+\alpha \cdot {\mathcal{P}}_k){]}^T{\mathcal{P}}_k\end{array}$,在后续的计算中均简化写作${\varphi }^{\prime }(\alpha )$。
• 关于斜率${\varphi }^{\prime }(\alpha )\le {\mathcal{C}}_1\cdot [\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k$点不再理会，而$[\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k$是$\varphi (0)$的斜率，作为下界。
  $$\{\begin{array}{l}\varphi (\alpha )\le f(x_k)+{\mathcal{C}}_1\cdot [\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k\cdot \alpha \\ {\varphi }^{\prime }(\alpha )\ge {\mathcal{C}}_1\cdot [\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k\\ {\mathcal{C}}_1\in (0,1)\end{array}$$

基于上述逻辑，被选择的$\varphi (\alpha )$见下图：
其中${\mathcal{A}}^{\prime }$点表示该图像中斜率与$\mathcal{L}(\alpha )$相同的其他位置的点。

上述这种方式可取吗$?$从逻辑角度上是可行的，但不可取。

关于${\mathcal{C}}_1$武断做法不可取的逻辑解释

• 由于${\mathcal{C}}_1\in (0,1)$，因而${\mathcal{C}}_1\cdot [\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k<0$恒成立。也就是说：无论${\mathcal{C}}_1$如何趋近于$0$，$\text{Armijo}$准则划分边界$\mathcal{L}(\alpha )$如何趋近于$\varphi (\alpha )=f(x_k)$，都无法获取使${\varphi }^{\prime }(\alpha )=0$的极值解。
  很简单，就是因为取不到~

  而与此同时，我们为了追求这个极值解，可能反而会损失一系列$\varphi (\alpha )$优质的$\alpha$点。
  如果仅使用${\mathcal{C}}_1$一个参数，那么要去除的点在$\text{Armijo}$准则划分边界$\mathcal{L}(\alpha )$确定的那一刻就已经被确定了，这势必会误伤一些$\varphi (\alpha )$优质的$\alpha$结果。

• 其次，这里的操作是非精确搜索，因而不执著去追求极值解(那不就变成精确搜索了吗~)，并且这仅仅是一次迭代的计算过程，没有必要消耗计算代价去追求更优质的$\varphi (\alpha )$，这也是我们希望尽量保留$\varphi (\alpha )$优质解的核心原因：
  与上一张图被选择的$\varphi (\alpha )$值对比观察，红色椭圆形虚线区域中描述的$\varphi (\alpha )$值是比较优质的，但因为${\mathcal{C}}_1$的原因导致该部分结果被‘一刀切’了。这并不是我们希望看到的结果。
  

关于${\mathcal{C}}_1$武断做法的改进：$\text{Wolfe Condition}$

如何避免上述一刀切的情况出现$?$$\text{Wolfe}$准则提供了而一种更软性的操作。

设置一个参数${\mathcal{C}}_2\in ({\mathcal{C}}_1,1)$，该参数对应的斜率表示为${\mathcal{C}}_2\cdot [\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k$，而该斜率在$([\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k,{\mathcal{C}}_1\cdot [\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k)$之间滑动(变换)。此时会出现一种缓和的情况：即便假设${\mathcal{C}}_1$无限接近于$0$，但由于${\mathcal{C}}_2$的作用，使$\varphi (\alpha )$点的选择与${\mathcal{C}}_1$没有太大关联：

• 这里相当于将斜率${\mathcal{C}}_1\cdot [\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k$视作一个边界。
• 上面的一刀切情况相当于${\mathcal{C}}_1\Rightarrow 0$的同时，${\mathcal{C}}_2\Rightarrow {\mathcal{C}}_1$的情况。
• 由于${\mathcal{C}}_2\in ({\mathcal{C}}_1,1)$因而完全可以通过调整${\mathcal{C}}_2$针对那些斜率小于${\mathcal{C}}_1\cdot [\nabla f(x_k){]}^T{\mathcal{P}}_k$，但$\varphi (\alpha )$优质的结果进行酌情选择。

最终根据$\text{Armijo}$准则，$\text{Wolfe}$准则操作如下：
{ ϕ ( α ) ≤ f ( x k ) + C 1 [ ∇ f ( x k ) ] T P k ⋅ α ϕ ′ ( α ) ≥ C 2 ⋅ [ ∇ f ( x k ) ] T P k C 1 ∈ ( 0 , 1 ) C 2 ∈ ( C 1 , 1 )

$$egin{cases} phi(alpha) leq f(x_k) + mathcal C_1 [ abla f(x_k)]^T mathcal P_k cdot alpha \ phi'(alpha) geq mathcal C_2 cdot [ abla f(x_k)]^T mathcal P_k \ mathcal C_1 in (0,1) \ mathcal C_2 in (mathcal C_1,1) end{cases}$$ ⎩ ⎨ ⎧​ϕ(α)≤f(xk​)+C1​[∇f(xk​)]TPk​⋅αϕ′(α)≥C2​⋅[∇f(xk​)]TPk​C1​∈(0,1)C2​∈(C1​,1)​

个人理解：$\text{Wolfe}$准则与$\text{Armijo}$准则

在开头部分提到关于$\text{Armijio}$准则的弊端，在介绍完$\text{Wolfe}$准则之后，有种$\text{Armijo}$准则的弊端卷土重来的感觉。个人认为：$\text{Wolfe}$准则提出的这种基于${\mathcal{C}}_2\in ({\mathcal{C}}_1,1)$的软性下界同样也在影响${\mathcal{C}}_1$的选择：

• 如果是单纯的$\text{Armijo}$准则，我们可能更偏好${\mathcal{C}}_1$远离$0$一些。因为${\mathcal{C}}_1\Rightarrow 0$意味着这种状态越趋近优化算法(四)中描述的必要不充分条件；这种${\mathcal{C}}_1$的选择方式也势必会增加$\text{Armijo}$准则弊端的风险；
• 而$\text{Wolfe}$准则中，即便${\mathcal{C}}_1$偏向$0$方向，我们依然可以通过调整${\mathcal{C}}_2$对相对不优质的$\varphi (\alpha )$点进行过滤。从剩余的优质点中选择并进行迭代。

相关参考：
【优化算法】线搜索方法-步长-Wolfe Condition