矩阵分解 (matrix decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种：1)三角分解法 (Triangular Factorization)，2)QR 分解法 (QR Factorization)，3)奇异值分解法 (Singular Value Decompostion)-------摘自‘百度百科’；

至于为什么矩阵分解，理论上说是为了简化计算，或者是为了深化理论。举几个例子:计算一个矩阵的高次幂，利用矩阵分解就可以实现快速甚至手算出结果。此外，求解线性方程组，数据拟合，矩阵求逆等等，很多数学问题需要矩阵分解。当然，应用到实际学术生活中，最常见的数据压缩与解耦合，特别是PCA降维，KL变换，一系列学术的东东都来源于此。此外，卫星获得高分辨率遥感图像在回传到地面的时候，需要用到图像压缩与解压缩技术，这个就需要矩阵分解。

说了不少闲话，开始正题。记得一位数学老师说过，谈数学问题先说明是在什么数域。这里，咱们只谈实数域，不扩展到复数域了。

先说说三角分解吧，学习《数值分析》课的同学都对LU三角分解记忆深刻，其实LU分解是三角分解的一种，这里从LU分解开始。LU分解，L代表单位下三角矩阵（对角线元素为1），U代表上三角矩阵。数值分析课由高斯消元法求解线性方程组引出了LU分解，这个当然是LU分解的一种应用。LU分解的具体计算步骤可以参考任何一本数值分析的课本，上面一定有详细的计算过程。LU分解适用于顺序主子式不为0的矩阵，当然必须是方阵。

LU分解的用途很多，上面已经提过求解线性方程组，当然还可以引申出高斯约当消去法来求解矩阵的逆，实际上matlab就是利用这个原理来求解大部分矩阵的逆的。

第二种三角分解是QR分解，也叫正交三角分解（这个是我自己个人认为的）。因为Q是正交阵，R为上三角矩阵。QR分解的具体实现过程是这样的，取待分解矩阵A的线性无关的列向量，利用Gram-Schmidt正交化方法加标准化获得新的正交阵Q。然后再计算R阵，R阵的计算稍微复杂，主对角元素是前面Gram-Schmidt正交化方法获得列向量的模值，其他上三角元素是行位置的Q的对应列向量与列位置的A的对应线性无关列的内积。表述比较麻烦，感兴趣的可以自己参考《矩阵理论》课本。

QR分解要求矩阵只要是列满秩的就行。

QR分解用途很多，大家对于“最小二乘法”应该很熟悉了，其实“最小二乘法”的解就是QR分解得到的解。最小二乘法广泛应用于数据拟合当中，特别是搞实验物理，化学，生物的，获得一大组数据，如果想要得到近似线性的关系时候就需要对这些数据进行线性拟合。我们刚开始学习数理统计时，我们说为了求解一条方差最小的直线。实际上，从矩阵理论上讲，是为了获得在矩阵A的列空间（range domain）上最佳近似。其次，在数值分析中，我们都学过计算矩阵特征值的方法----QR算法，它是QR三角分解的变形，采用迭代的方式求解出矩阵的所有特征值。目前计算机计算中小型矩阵的特征值一般都是采用这个原理来的。毕竟，我们人工手算的话计算4阶矩阵的特征值就不错了，实际上1825年阿贝尔等人就证明了5次及以上代数方程无公式解。

此外，QR方法还可以求解矩阵的广义逆，用途还是蛮广的。

未完待续……