推荐|人工智能数学基础---定积分8：无穷限反常积分审敛法

一、引言

在《人工智能数学基础—定积分6：无穷限函数的反常积分计算》介绍了无穷限函数的反常积分概念、计算方法以及收敛性的判断方法，通过求被积函数的原函数，然后按定义取极限，根据极限的存在与否来判定是否收敛。除了这条路，还有一种反常积分收敛性的判断方法。这就是本节要介绍的无穷限函数的反常积分审敛法。

所谓审敛法就是判断函数或级数是否收敛的方法。

二、无穷限反常积分审敛法

无穷限的反常积分的无穷限是指区间[a，+∞），a∈R，如无特别说明，下面介绍的内容都是基于此为前提。

2.1、函数值大于等于0且有界连续函数的无穷限反常积分收敛

定理1：设函数f(x)在区间[a，+∞）上连续，且f(x)≥0，若f(x)对应的无穷限积分上限函数：
在这里插入图片描述
在区间[a，+∞）上有上界，则下面的反常积分收敛：
∫a+∞ f(x)dx

这是因为f(x)≥0，故F(x)在区间[a，+∞）上单调递增，又F(x)在[a，+∞）上有上界，因此F(x)在区间[a，+∞）上是单调有界函数，因此F(x)必有极限，因此该反常积分收敛。

2.2、比较审敛原理

定理2：设函数f(x)、g(x)在区间[a，+∞）上连续，如果0≤f(x)≤g(x)(a≤x<+∞)，并且g(x)在[a，+∞）上的无穷限反常积分收敛，那么f(x))在[a，+∞）上的无穷限反常积分也收敛；如果0≤g(x)≤f(x)(a≤x<+∞)，并且g(x)在[a，+∞）上的无穷限反常积分发散，那么f(x))在[a，+∞）上的无穷限反常积分也发散。

这个定理的证明非常容易，在此不进行介绍。

2.3、比较审敛法1

定理3：设函数f(x)在区间[a，+∞）（a>0）上连续，且f(x)≥0，如果存在常数M>0及p>1，使得f(x)≤M/x^p(a≤x<+∞)，那么f(x)在区间[a，+∞）（a>0）对应的无穷限反常积分收敛；如果存在常数N>0，使得f(x)≥N/x，那么f(x)在区间[a，+∞）（a>0）对应的无穷限反常积分发散。

证明思路：

在《人工智能数学基础—定积分6：无穷限函数的反常积分计算》例3证明了函数f(x)=1/x^p在[a，+∞)（a>0）上当p>1时收敛，当p≤1时发散，取g(x)=A*f(x)(A>0)，即可求证。

应用案例：
在这里插入图片描述

2.4、极限审敛法1

定理4：设函数f(x)在区间[a，+∞）上连续，且f(x)≥0，如果存在常数p>1，使得x->+∞时x^pf(x)的极限存在且等于c（c小于+∞），那么f(x)在区间[a，+∞）上对应的无穷限反常积分收敛；如果x->+∞时xf(x)的极限存在且等于d（d>0），那么f(x)在区间[a，+∞）对应的无穷限反常积分发散。

我们首先来看书上的证明：
在这里插入图片描述
老猿很花了点时间去理解这个证明，上述证明在证明两个结论时，都使用了极限的定义，第一个结论证明时，将无穷限的反常积分分成了一个定积分和一个无穷限反常积分之和，并证明拆分后的那个反常积分是收敛的从而证明出整个无穷限反常积分收敛。第二个结论证明时，同样用极限定义，却证明了f(x)的反常积分发散。感觉只是因为取的极限定义中的ε不同值导致的，是否反过来取ε值结论会不一样呢？