推荐|人工智能数学基础11：集合、函数及相关概念补充

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对于数集,有时我们在表示数集的字母的右上角标上"*”来表示该数集内排除0的集，标上“+“来表示该数集内排除0与负数的集。
全体有理数的集合记作Q，即：
全体实数的集合记作R，R*为排除数0的实数集，R⁺为全体正实数的集
在两个集合之问还可以定义直积（也称笛卡儿Descartes乘积)。设A、B是任意
两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成
一个有序对(x,y)，把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集
合A与集合B的直积，记为AXB，即：
AXB=|(x，y)|x∈A且y∈B|
例如,RXR=|(x,y)lx∈R、y∈R|，即为xOy面上全体点的集合，RxR常记作R²
邻域也是一个经常用到的概念，以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记作U(a)。
设δ是任一正数，则开区间(a-δ,a+δ)就是点a的一个邻域,这个邻域称为点a的δ邻城,记作U(a,δ)，即：
U(a,δ)=|x|a-δ 点a称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径。
有时用到邻域需要将邻域中心去掉，点a的δ邻城去掉中心后，称为点a的去心δ邻域，记作：

为了方便，有时把开区间（a-δ,a）称为a的左δ邻域，把开区间（a,a+δ）称为a的右δ邻域。

映射又称为算子。根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又
有不同的惯用名称、例如,从非空集X到数集Y的映射又称为X上的泛函,从非
空集X到它自身的映射又称为X上的变换,从实数集(或其子集)X到实数集Y
的映射通常称为定义在X上的函数。

设有两个映射：
g：X->Y1，f：Y2->Z
其中Y1⊂Y2，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个x∈X映成f[g(x)]∈Z。显然这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作f○g，即：

f○g:X->Z,(f○g)(x)=f[g(x)],x∈X
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由复合映射的定义可知，映射g和f构成复合映射的条件是：g的值域R，必须包含在f的定义域D_f内，即R⊆D_f，否则不能构成复合映射，由此可以知道映射g和f的复合是有顺序的，f○g 有意义并不表示g○f也有意义。即使f○g与g○f都有意义，复合映射f○g与g○f也未必相同。

函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素是：定义域D_f及对应法则f。如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的。

函数的定义域通常按以下两种情形来确定：

对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定，在函数定义中给出定义域
抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下,一般的用算式表达的函数可用“y=f(x)”表达,而不必再表出D_f。例如函数：

的定义域是闭区间[-1,1]。