本篇笔记介绍了用于解方程组的克莱姆法则，该法则只适用于方程个数等于未知量个数的方程组；同时还介绍了齐次线性方程组，并讨论了方程组有零解或有非零解的条件。需要注意的是：克莱姆法则由于计算量比较大，一般不会直接用于求方程组的解，而是用于讨论方程组有零解或非零解。

1 Cramer 法则

克莱姆法则用于解方程组，只适用于方程个数等于未知量个数。

方程组：

{ x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 − x 2 + 5 x 3 = 6 − x 1 + x 2 + 6 x 3 = 9 {x1+x2+x3=1x1−x2+5x3=6−x1+x2+6x3=9

系数行列式：方程组的系数组成的行列式。

D = ∣ 1 1 1 1 − 1 5 − 1 1 6 ∣ D=|1111−15−116|

定理 1.5.1 克莱姆法则：含有$n$个方程$n$个未知量的方程组，系数行列式不等于零，则$x_j=\frac{D_j}{D}$。式中$x_j$为对应未知数的值，$D$为系数行列式，$D_j$为方程组右边常数项替换$D$的第$j$列后的行列式。

上述方程组的$D_1$、$D_2$和$D_3$分别为：

D 1 = ∣ 1 1 1 6 − 1 5 9 1 6 ∣ D_1=|1116−15916|

D 2 = ∣ 1 1 1 1 6 5 − 1 9 6 ∣ D_2=|111165−196|

D 3 = ∣ 1 1 1 1 − 1 6 − 1 1 9 ∣ D_3=|1111−16−119|

克莱姆法则成立的两个条件：
① 方程个数=未知量个数；
② 系数行列式D≠0。

例1：
略。

2 齐次线性方程组

齐次线性方程组右边常数项全为0，齐次线性方程组至少有0解。
{ x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 − x 2 + 5 x 3 = 0 − x 1 + x 2 + 6 x 3 = 0 {x1+x2+x3=0x1−x2+5x3=0−x1+x2+6x3=0

零解：全都等于0的解；
非零解：除了0解以外的解。

定理 1.5.2：如果齐次线性方程组的方程个数等于未知量个数，并且系数行列式$D\ne 0$，则方程组只有0解。

逆否命题：若齐次线性方程组有非0解，则它的系数行列式必等于零（$D=0$）。

还可以证明，如果齐次线性方程组系数行列式等于零（$D=0$），那么齐次线性方程组一定有非0解。

充要条件：也就是说：（方程个数等于未知量个数的）齐次线性方程组有非0解$⟺$$D=0$。

例2：以下齐次线性方程组中，问$a,b,c$满足何种关系时只有零解，或有非零解？
{ x 1 + x 2 + x 3 = 0 a x 1 + b x 2 + c x 3 = 0 a 2 x 1 + b 2 x 2 + c 2 x 3 = 0 {x1+x2+x3=0ax1+bx2+cx3=0a2x1+b2x2+c2x3=0

解：上述齐次线性方程组的系数行列式为：
D = ∣ 1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2 ∣ D=|111abca2b2c2|

该行列式为范德蒙德行列式：
$D=(b-a)(c-a)(c-b)$

① 由定理定理 $1.5.2$ 可知，$D\ne 0$，齐次线性方程组只有零解，即：
$(b-a)(c-a)(c-b)\ne 0$

所以，当 $b\ne c$ 并且 $c\ne a$ 并且 $c\ne b$ 时，齐次线性方程组只有零解。

② 当$D=0$时，齐次线性方程组有非零解，即：
$(b-a)(c-a)(c-b)=0$

所以，当 $b=c$ 或者 $c=a$ 或者 $c=b$ 时，齐次线性方程组有非零解。

例3：
略。

3 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.5 克莱姆法则