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题目大意:让一只猫咪去做训练,在此之前任何猫咪没有花生:
g i:让第i只小猫拿到一颗花生
e i:让第i只小猫吃掉它所拥有的所有花生
s i j:让第i只小猫与第j只小猫交换它们的花生
所有的猫咪执行这一系列的举措并且必须重复m次!你必须确定最后每只小猫拥有的花生的数量。
解题思路:
我们把刚才那3只猫看做一个矩阵{a,b,c},分别代表他们有的花生个数,显然初始是{0,0,0}
当进行s操作的时候,我们将初始矩阵乘上一个矩阵,得到的那个矩阵最好也是1行3列的。
那肯定我们要构造的那个矩阵式3*3的矩阵
s 1 2交换操作就是{a,b,c}*x={b,a,c}
x={0 1 0}
1 0 0
0 0 1
那么S操作就是这样的,首先将X看做一个单位矩阵,要交换哪两个,只需要交换他们的列就可以了
对于e操作近似于s操作,将e 2举例:{a,b,c}*x={a,0,c}
x={1 0 0}
0 0 0
0 0 1
即将某列置于0
现在问题来了,怎么构造g操作的矩阵。使下面这个等式成立
g 1操作 {a,b,c}*X={a+1,b,c}
g 2操作 {a,b,c}*X={a,b+1,c}
g 3操作 {a,b,c}*X={a,b,c+1}
这样所构造的矩阵会含有a,b,c的值,不可能将构造一个这样的矩阵,这不科学,因为在前面构造s操作与e操作时,我们并不需要知道a,b,c的值
那这样,我们不妨再{a,b,c}矩阵多加一个1,这样我们就能实现我们的+1操作了
要使g 1操作实现{a,b,c,1}*x={a+1,b,c,1}
那么x= 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 1
当然这样构造矩阵,这样并不影响我们前面的s与e操作
这样一系列操作之后:
而重复m次那么多操作,只是需要将{0,0,0,1}* X^m={a,b,c,1}
这个时候a,b,c就是我们要的答案,构造X次方只能用模拟去构造,因为操作最多只有100次,所有不费什么时间,现在重要的是X^m
我们知道X^m,除了注意一下大数据之外,可以用快速幂解决,但是在数据里面,就算用快速幂求解也会在1s以上的,当然不是说快速幂有问题,而是在矩阵的乘法需要改进。
在实际数据中,其实很多矩阵构造出来是一个很大的100*100的矩阵,但是在矩阵的元素里面有许多0,我们称之为稀疏矩阵。对于稀疏矩阵的乘法,在普通的0(N^3)的矩阵乘法是可以改进的。
- /*
- Memory 816K
- Time 157MS
- */
- #include
- using namespace std;
- #define MAXV 102
-
- typedef struct{
- int c,r;
- __int64 mat[MAXV][MAXV];
- }Matrix;
-
- Matrix ans,cnt;
- __int64 n,m,k;
-
- void Input(){ //构造矩阵
- char c;
- int i,t,j;
- __int64 w,v;
- cnt.r=cnt.c=n+1;
- memset(cnt.mat,0,sizeof(cnt.mat));
- for(i=0;i
1; -
- for(i=0;i
- scanf("%c",&c);
- if(c=='g'){
- scanf("%I64d",&v);
- cnt.mat[n][v-1]++;
- }else if(c=='e'){
- scanf("%I64d",&v);
- for(j=0;j
1;j++) cnt.mat[j][v-1]=0; - }else{
- scanf("%I64d%I64d",&v,&w);
- for(j=0;j
1;j++){ - t=cnt.mat[j][v-1];
- cnt.mat[j][v-1]=cnt.mat[j][w-1];
- cnt.mat[j][w-1]=t;
- }
- }
- getchar();
- }
-
- ans.c=1;
- ans.r=n+1;
- memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
- ans.mat[0][n]=1;
- }
-
- Matrix MatrixMul(Matrix a,Matrix b){ //稀疏矩阵乘法
- int i,j,v;
- Matrix t;
- t.r=a.r;
- t.c=b.c;
- memset(t.mat,0,sizeof(t.mat));
- for(i=0;i
- for(j=0;j
- if(a.mat[i][j]){
- for(v=0;v
- t.mat[i][v]+=(a.mat[i][j]*b.mat[j][v]);
- }
- }
- return t;
- }
-
- void Binary(){ //二分快速幂
- while(m){
- if(m & 1) ans=MatrixMul(ans,cnt);
- cnt=MatrixMul(cnt,cnt);
- m=m>>1;
- }
- }
-
- void Output(){
- int i;
- for(i=0;i
- printf("%I64d ",ans.mat[0][i]);
- printf("\n");
- }
-
- int main(){
- while(scanf("%I64d%I64d%I64d\n",&n,&m,&k)){
- if(!n && !m && !k) break;
- Input();
- Binary();
- Output();
- }
- return 0;
- }
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