推荐|图论总结与编程练习

深度优先搜索（DFS）：从起始节点开始，尽可能深地探索图的分支，直到无法继续为止，然后回溯到上一个节点继续探索。
广度优先搜索（BFS）：从起始节点开始，逐层地探索图的分支，先访问离起始节点最近的节点，然后依次访问离起始节点更远的节点。
最短路径算法：用于寻找两个节点之间的最短路径，常用的算法包括迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）和贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford algorithm）。
最小生成树算法：用于找到连接图中所有节点的一棵包含最小权重边的树，常用的算法包括普里姆算法（Prim's algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's algorithm）。

除了上述算法之外，计算机图论还涉及到诸如拓扑排序、连通性判断、网络流、图着色等其他重要问题和算法。计算机图论在解决实际问题中具有广泛的应用，可以帮助人们理解和分析复杂的关系

（二）JDK中的应用分析

在 JDK（Java Development Kit）源码中，也会涉及到图论相关的应用。以下是一些示例：

图的表示：在 JDK 中，图的表示通常用邻接表或邻接矩阵来实现。例如，在图论相关的算法中，如拓扑排序（Topological Sort）和最短路径算法，会使用到图的表示方式。
图的遍历：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是图的遍历算法，它们在 JDK 中的许多地方都有应用。例如，在集合类的遍历中，使用迭代器或递归实现的算法就可以看作是一种深度优先搜索或广度优先搜索。
最短路径算法：JDK 中的 java.util.concurrent 包中的类使用了最短路径算法来实现一些并发工具，如 Phaser 类中的屏障同步机制。最短路径算法有助于确定线程之间的相对顺序，以及在并发环境中的任务调度和协作。
最小生成树算法：JDK 中的某些类库也可能使用最小生成树算法。例如，在网络通信中，可能使用最小生成树算法来构建最优的网络拓扑结构，以实现高效的数据传输。

需要注意的是，这些图论算法的具体实现可能会因 JDK 版本和具体的模块而有所不同。在 JDK 源码中，这些算法通常被用于解决与网络、并发和优化相关的问题。

具体举例一个源码的最短路径算法分析案例

在 JDK 中，java.util.concurrent.Phaser 类是一个用于并发控制的工具类，它实现了屏障同步机制。屏障同步机制用于确保多个线程在特定点上等待，并在满足条件后同时继续执行。

Phaser 类使用了最短路径算法来确定线程之间的相对顺序，并在并发环境中进行任务调度和协作。这个类中的内部实现包括一个树状结构，每个节点表示一个阶段（phase），并且节点之间以最短路径连接。

下面是对 Phaser 类的源码分析示例：

首先，通过查看 Phaser 类的源码，可以了解到它的内部数据结构包括一个阶段（phase）和一个注册线程的集合。
在 Phaser 类中，最短路径算法被用于确定线程之间的相对顺序。具体而言，Phaser 内部维护了一个树状结构，树中的每个节点表示一个阶段。线程在到达某个阶段时，会根据最短路径选择下一个要进入的阶段。
最短路径算法的具体实现可能涉及到图论中的迪杰斯特拉算法或贝尔曼-福特算法等。通过分析 Phaser 类的源码，可以深入了解最短路径算法在并发环境中的应用。

总的来说，java.util.concurrent.Phaser 类使用了最短路径算法来实现屏障同步机制，确保多个线程按照特定的顺序执行任务。通过分析该类的源码，可以更好地理解最短路径算法在并发编程中的应用，并学习如何利用图论的概念解决复杂的并发问题。

（三）其他框架中的使用介绍

图论在框架中的使用非常广泛，它可以帮助框架设计者解决各种复杂的问题。以下是图论在框架中的一些常见应用：

依赖管理：许多框架需要管理各种组件、模块或插件之间的依赖关系。这些依赖关系可以被表示为一个图，其中节点表示组件，边表示依赖关系。通过图论算法，框架可以进行依赖分析、循环依赖检测、构建依赖关系图等。
路由和导航：在Web框架和路由框架中，图论被广泛用于实现路由和导航功能。URL路径和请求参数可以被表示为图的节点和边，通过图论算法可以确定最短路径、处理路由冲突、支持动态路由等。
状态机：状态机是许多框架和协议中常见的概念，用于描述系统或协议的状态转换。状态机可以被看作是一个有向图，其中节点表示不同的状态，边表示状态之间的转换。通过图论算法，可以实现状态机的分析、验证、优化等。
数据流和数据处理：在数据流处理框架中，图论可以用于表示数据流图，其中节点表示数据处理的节点，边表示数据的流向。通过图论算法，可以进行数据流分析、优化、并行计算等。
分布式系统：在分布式系统框架中，图论被广泛用于拓扑结构的建模和分析。节点表示计算节点或服务器，边表示节点之间的连接。通过图论算法，可以进行分布式系统的拓扑分析、负载均衡、容错处理等。

这些只是图论在框架中的一些常见应用示例。实际上，图论在框架设计中的应用非常灵活多样，可以根据具体的问题和需求进行创新和扩展。框架设计者可以利用图论的概念、算法和工具，解决复杂的依赖关系、路由、状态转换等问题，从而构建更强大和可扩展的框架。

二、相关编程练习题

基本的图论算法题分类大致为

深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）：

岛屿数量（Number of Islands）
单词接龙（Word Ladder）
克隆图（Clone Graph）

最短路径算法：

单源最短路径（Dijkstra 算法）
负权最短路径问题（Bellman-Ford algorithm贝尔曼-福特算法）
网络延迟时间（Network Delay Time）

最小生成树算法：

具有最小生成树的连通图的最小代价（Prim 算法）

拓扑排序：

强连通分量（Strongly Connected Components）：
找到最终的安全状态（Find Eventual Safe States）

最大流算法：

网络流问题的最大流（Maximum Flow）
图中的可变流量（Graph Valid Tree）

最小割算法：

图中的割边（Minimum Cut）
隐藏的好友（Friend Circles）
欧拉路径和哈密顿路径：
欧拉路径（Eulerian Path）
哈密顿路径（Hamiltonian Path）

最短路径树：

从根到叶的二进制数之和（Sum Root to Leaf Numbers）
从起点到终点的最小路径数（Unique Paths）

二部图：

判断是否为二分图（Is Graph Bipartite?）
用颜色填充区域（Coloring A Border）

这些题目涵盖了图论中的各个重要概念和算法，包括最大流、最小割、欧拉路径、哈密顿路径、最短路径树、二部图等。通过解决这些问题，你将有机会熟悉和掌握不同类型的图论算法，提升你的算法解决能力和编程技巧。

1、单词接龙（Word Ladder）

题目描述：给定两个单词 beginWord 和 endWord，以及一个字典列表 wordList，找到从 beginWord 到 endWord 的最短转换序列的长度。每次转换只能改变一个字母，并且转换后的单词必须在字典列表 wordList 中。

注意：

每个给定的单词长度相同。
所有单词只包含小写字母。
假设不存在重复的单词。
beginWord 和 endWord 不为空，且它们不同。

例如，给定 beginWord = "hit"，endWord = "cog"，wordList = ["hot","dot","dog","lot","log","cog"]，最短转换序列是 "hit" -> "hot" -> "dot" -> "dog" -> "cog"，转换序列的长度为 5。

你需要返回从 beginWord 到 endWord 的最短转换序列的长度。如果不存在这样的转换序列，则返回 0。

解法分析

针对单词接龙（Word Ladder）问题，可以使用广度优先搜索（BFS）算法来找到最短转换序列的长度。以下是该算法的最优解法分析：

构建图：将字典列表中的单词作为图中的节点，如果两个单词只相差一个字母，则在它们之间添加一条边。可以使用哈希表来存储每个单词对应的邻居列表，以便快速查找。
BFS搜索：从起始单词开始，使用队列进行广度优先搜索。首先将起始单词加入队列，并初始化访问标记和距离为1。然后，从队列中取出一个单词，并遍历它的邻居列表。
判断终止条件：如果当前单词等于目标单词，说明已经找到了最短转换序列，返回当前距离即可。
转换单词：对于当前单词的每个字母，尝试用所有可能的小写字母进行替换，生成新的单词。如果新的单词存在于字典列表中，并且之前没有访问过，将其加入队列，并更新其距离和访问标记。
继续搜索：重复步骤3和步骤4，直到队列为空。如果队列为空时仍未找到目标单词，则说明无法从起始单词转换到目标单词，返回0。

该解法的时间复杂度取决于字典列表中的单词数量和每个单词的长度。在构建图时，需要遍历字典列表，并对每个单词的每个字母进行替换，时间复杂度为 O(M * N)，其中 M 是字典列表的长度，N 是单词的长度。在广度优先搜索中，每个单词最多会入队一次，因此总体时间复杂度为 O(M * N)。

由于单词接龙问题可以看作是在图中寻找最短路径的问题，因此广度优先搜索算法是该问题的最优解法之一。使用广度优先搜索可以有效地找到起始单词到目标单词的最短转换序列的长度，时间复杂度相对较低。

代码展示

 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="1">

class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="1"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">package org.zyf.javabasic.letcode.graph; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="2"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="3"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.ArrayList; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="4"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.HashMap; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="5"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.HashSet; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="6"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.LinkedList; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="7"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.List; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="8"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.Map; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="9"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.Queue; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="10"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.Set; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="11"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="12"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">/** class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="13"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * @author yanfengzhang class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="14"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * @description 给定一个无向连通图中的一个节点的引用 Node，返回该图的深拷贝（克隆）。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="15"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 图中的每个节点都包含一个值（int）和一个包含其邻居的列表（list of Node）。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="16"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 深拷贝的图应该以相同的方式构建，其具有与原始图相同的节点数目，并且可以通过 Node 引用找到对应的新节点。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="17"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 新图中的每个节点都应该从原始图中的节点复制其值和邻居信息。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="18"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 注意： class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="19"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * * 节点值的范围是整数（int）。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="20"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * * 无向图不包含自环（self-loop），即节点不会直接连接到自身。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="21"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * * 无向图中两个节点之间最多存在一条边，即无向图是简单图（simple graph）。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="22"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * * 在深拷贝的图中，任何两个节点之间都不存在直接的边连接。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="23"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 例如，给定如下无向图的一个节点引用 1： class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="24"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 1 -- 2 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="25"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * | | class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="26"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 4 -- 3 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="27"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 返回结果应为克隆的无向图的一个节点引用 1'，其结构如下： class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="28"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 1'-- 2' class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="29"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * | | class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="30"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 4'-- 3' class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="31"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 每个节点都具有相同的节点值和邻居列表。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="32"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * @date 2022/6/2 23:36 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="33"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> */ class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="34"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">public class CloneGraph { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="35"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> private Map visited; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="36"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="37"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> public Node cloneGraph(Node node) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="38"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> visited = new HashMap<>(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="39"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> return cloneNode(node); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="40"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="41"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="42"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> private Node cloneNode(Node node) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="43"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> if (node == null) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="44"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> return null; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="45"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="46"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="47"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> if (visited.containsKey(node)) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="48"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> return visited.get(node); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="49"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="50"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="51"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> Node clone = new Node(node.val); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="52"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> visited.put(node, clone); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="53"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="54"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (Node neighbor : node.neighbors) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="55"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> clone.neighbors.add(cloneNode(neighbor)); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="56"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="57"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="58"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> return clone; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="59"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="60"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="61"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> static class Node { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="62"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> public int val; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="63"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> public List neighbors; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="64"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="65"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> public Node(int val) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="66"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> this.val = val; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="67"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> this.neighbors = new ArrayList<>(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="68"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="69"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="70"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="71"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> public static void main(String[] args) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="72"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 创建原始图 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="73"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> Node node1 = new Node(1); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="74"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> Node node2 = new Node(2); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="75"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> Node node3 = new Node(3); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="76"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> Node node4 = new Node(4); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="77"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="78"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> node1.neighbors.add(node2); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="79"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> node1.neighbors.add(node4); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="80"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="81"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> node2.neighbors.add(node1); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="82"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> node2.neighbors.add(node3); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="83"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="84"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> node3.neighbors.add(node2); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="85"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> node3.neighbors.add(node4); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="86"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="87"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> node4.neighbors.add(node1); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="88"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> node4.neighbors.add(node3); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="89"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="90"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 克隆图 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="91"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> CloneGraph cloneGraph = new CloneGraph(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="92"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> Node clonedNode = cloneGraph.cloneGraph(node1); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="93"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="94"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 打印原始图和克隆图的节点值和邻居列表 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="95"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> System.out.println("Original Graph:"); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="96"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> printGraph(node1); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="97"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="98"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> System.out.println("Cloned Graph:"); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="99"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> printGraph(clonedNode); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="100"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="101"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="102"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> private static void printGraph(Node node) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="103"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> if (node == null) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="104"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> return; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="105"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="106"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="107"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> Set visited = new HashSet<>(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="108"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> Queue queue = new LinkedList<>(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="109"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> queue.offer(node); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="110"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> visited.add(node); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="111"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="112"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> while (!queue.isEmpty()) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="113"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> Node currNode = queue.poll(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="114"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> System.out.print("Node " + currNode.val + ": ["); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="115"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="116"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int i = 0; i < currNode.neighbors.size(); i++) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="117"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> Node neighbor = currNode.neighbors.get(i); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="118"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> System.out.print(neighbor.val); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="119"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="120"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> if (!visited.contains(neighbor)) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="121"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> queue.offer(neighbor); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="122"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> visited.add(neighbor); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="123"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="124"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="125"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> if (i != currNode.neighbors.size() - 1) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="126"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> System.out.print(", "); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="127"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="128"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="129"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="130"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> System.out.println("]"); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="131"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="132"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="133"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">} class="hljs-button signin active" data-title="登录复制" data-report-click="{"spm":"1001.2101.3001.4334"}" onclick="hljs.signin(event)">

class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="1"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">package org.zyf.javabasic.letcode.graph; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="2"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="3"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.Arrays; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="4"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.Comparator; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="5"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.PriorityQueue; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="6"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="7"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">/** class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="8"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * @author yanfengzhang class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="9"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * @description 给定一个带有权重的无向连通图，你需要找到一个生成树，使得这个生成树的权重之和最小。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="10"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 注意： class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="11"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * * 该图包含 N 个节点，编号为 0 到 N-1，其中 N 为图中节点的数量。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="12"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * * 生成树必须包含图中的所有节点。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="13"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * * 图的权重以一个二维数组 graph 表示，graph[i][j] 表示节点 i 和节点 j 之间的边的权重。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="14"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * * 如果节点 i 和节点 j 之间没有边，则 graph[i][j] = graph[j][i] = -1。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="15"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 示例 1: class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="16"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 输入: class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="17"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * graph = [ [-1, 2, -1, 6, -1], class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="18"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * [2, -1, 3, 8, 5], class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="19"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * [-1, 3, -1, -1, 7], class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="20"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * [6, 8, -1, -1, 9], class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="21"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * [-1, 5, 7, 9, -1] class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="22"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * ] class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="23"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 输出: 16 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="24"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 解释: 生成树的边包括 (0, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)，总权重为 2 + 3 + 8 + 5 = 16。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="25"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 注意： class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="26"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * * 你可以假设图是连通的，并且图中不存在环。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="27"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * * 该算法的实现使用了 Prim 算法，通过贪心策略逐步添加权重最小的边来构建生成树。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="28"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * @date 2021/10/5 22:18 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="29"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> */ class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="30"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">public class MinimumSpanningTree { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="31"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="32"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> /** class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="33"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 最小生成树问题可以使用 Prim 算法解决，该算法基于贪心策略，逐步构建生成树，选择当前权重最小的边来扩展生成树。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="34"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 具体步骤如下： class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="35"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 1. 创建一个空的生成树集合和一个空的已访问节点集合。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="36"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 2. 选择一个起始节点，将其添加到已访问节点集合中。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="37"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * * 重复以下步骤，直到已访问节点集合包含所有节点： class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="38"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * * 遍历已访问节点集合中的每个节点，找到与其相连且未访问过的节点中权重最小的边。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="39"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * * 将找到的边添加到生成树集合中，并将对应的节点添加到已访问节点集合中。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="40"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 3. 计算生成树集合中所有边的权重之和，即为最小生成树的代价。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="41"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 最优解法的时间复杂度为 O(V^2)，其中 V 是节点的数量。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="42"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 在实现过程中，通常会使用优先队列（Priority Queue）来快速选择权重最小的边，可以将时间复杂度优化到 O(E log V)，其中 E 是边的数量。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="43"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 注意：在图中存在多个连通分量的情况下，需要对每个连通分量分别进行最小生成树的构建。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="44"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> */ class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="45"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> public int minimumCost(int[][] graph) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="46"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 节点的数量 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="47"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int N = graph.length; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="48"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 记录节点是否已访问 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="49"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> boolean[] visited = new boolean[N]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="50"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 记录每个节点与已访问节点集合的最小边权重 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="51"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int[] minWeight = new int[N]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="52"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 初始化最小权重为最大值 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="53"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> Arrays.fill(minWeight, Integer.MAX_VALUE); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="54"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 起始节点的最小权重为0 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="55"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> minWeight[0] = 0; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="56"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="57"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 最小生成树的总代价 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="58"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int totalCost = 0; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="59"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="60"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 优先队列用于快速选择权重最小的边 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="61"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> PriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt(a -> a[1])); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="62"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 起始节点入队 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="63"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> pq.offer(new int[]{0, 0}); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="64"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="65"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> while (!pq.isEmpty()) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="66"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 弹出权重最小的边 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="67"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int[] curr = pq.poll(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="68"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int node = curr[0]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="69"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int weight = curr[1]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="70"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="71"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> if (visited[node]) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="72"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 跳过已访问的节点 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="73"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> continue; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="74"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="75"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="76"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 标记节点为已访问 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="77"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> visited[node] = true; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="78"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 更新总代价 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="79"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> totalCost += weight; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="80"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="81"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 遍历与当前节点相连的边 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="82"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int i = 0; i < N; i++) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="83"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> if (graph[node][i] != -1 && !visited[i]) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="84"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> if (graph[node][i] < minWeight[i]) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="85"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 更新节点与已访问节点集合的最小权重 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="86"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> minWeight[i] = graph[node][i]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="87"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 将边加入优先队列 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="88"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> pq.offer(new int[]{i, graph[node][i]}); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="89"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="90"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="91"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="92"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="93"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="94"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> return totalCost; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="95"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="96"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="97"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> public static void main(String[] args) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="98"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 创建一个有权重的连通图 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="99"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int[][] graph = { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="100"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> {0, 2, 0, 6, 0}, class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="101"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> {2, 0, 3, 8, 5}, class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="102"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> {0, 3, 0, 0, 7}, class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="103"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> {6, 8, 0, 0, 9}, class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="104"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> {0, 5, 7, 9, 0} class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="105"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> }; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="106"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="107"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> MinimumSpanningTree mst = new MinimumSpanningTree(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="108"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int minCost = mst.minimumCost(graph); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="109"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> System.out.println("Minimum cost of spanning tree: " + minCost); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="110"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="111"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">} class="hljs-button signin active" data-title="登录复制" data-report-click="{"spm":"1001.2101.3001.4334"}" onclick="hljs.signin(event)">

class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="1"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">package org.zyf.javabasic.letcode.graph; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="2"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="3"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.Arrays; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="4"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.LinkedList; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="5"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.Queue; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="6"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="7"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">/** class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="8"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * @author yanfengzhang class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="9"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * @description 给定一个网络，包含源节点s和汇节点t，以及一些中间节点。每条边都有一个容量，表示该边允许通过的最大流量。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="10"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 你的任务是找到从源节点s到汇节点t的最大流量。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="11"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 请实现一个函数 int maxFlow(int[][] graph, int s, int t)，其中 graph 是一个二维数组，表示网络的邻接矩阵， class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="12"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * graph[i][j] 表示节点i到节点j的边的容量。s 表示源节点的索引，t 表示汇节点的索引。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="13"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 函数应返回从源节点到汇节点的最大流量。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="14"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 示例： class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="15"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 输入： class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="16"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * graph = [ class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="17"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * [0, 3, 0, 3, 0, 0], class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="18"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * [0, 0, 4, 0, 0, 0], class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="19"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * [0, 0, 0, 1, 2, 0], class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="20"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * [0, 0, 0, 0, 2, 6], class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="21"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * [0, 0, 0, 0, 0, 1], class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="22"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * [0, 0, 0, 0, 0, 0] class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="23"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * ] class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="24"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * s = 0 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="25"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * t = 5 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="26"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 输出：5 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="27"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 解释： class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="28"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 从源节点0到汇节点5的最大流量为5。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="29"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 请注意，这只是一个示例题目描述，实际题目可能会有更多的细节和限制条件。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="30"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * @date 2021/7/15 23:49 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="31"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> */ class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="32"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">public class MaximumFlow { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="33"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="34"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> /** class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="35"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 使用BFS找到从源节点到汇节点的增广路径 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="36"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> */ class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="37"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> private boolean bfs(int[][] residualGraph, int[] parent, int source, int target) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="38"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int vertices = residualGraph.length; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="39"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> boolean[] visited = new boolean[vertices]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="40"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> Arrays.fill(visited, false); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="41"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="42"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 创建一个队列用于BFS遍历 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="43"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> Queue queue = new LinkedList<>(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="44"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> queue.add(source); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="45"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> visited[source] = true; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="46"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> parent[source] = -1; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="47"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="48"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> while (!queue.isEmpty()) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="49"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int current = queue.poll(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="50"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="51"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 遍历当前节点的邻接节点 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="52"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int next = 0; next < vertices; next++) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="53"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> if (!visited[next] && residualGraph[current][next] > 0) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="54"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> queue.add(next); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="55"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> visited[next] = true; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="56"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> parent[next] = current; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="57"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="58"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="59"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="60"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="61"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 如果在BFS过程中能够到达汇节点，则存在增广路径 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="62"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> return visited[target]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="63"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="64"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="65"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> /** class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="66"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 使用Edmonds-Karp算法计算最大流 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="67"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> */ class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="68"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> public int maxFlow(int[][] graph, int source, int target) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="69"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int vertices = graph.length; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="70"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="71"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 创建一个剩余图，初始化为输入图 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="72"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int[][] residualGraph = new int[vertices][vertices]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="73"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int i = 0; i < vertices; i++) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="74"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int j = 0; j < vertices; j++) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="75"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> residualGraph[i][j] = graph[i][j]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="76"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="77"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="78"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="79"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 初始化最大流为0 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="80"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int maxFlow = 0; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="81"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="82"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 创建一个用于存储增广路径的数组 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="83"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int[] parent = new int[vertices]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="84"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="85"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 不断寻找增广路径，并更新剩余图中的流量，直到不存在增广路径 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="86"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> while (bfs(residualGraph, parent, source, target)) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="87"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 计算增广路径上的最大可增加流量 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="88"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int minCapacity = Integer.MAX_VALUE; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="89"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int v = target; v != source; v = parent[v]) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="90"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int u = parent[v]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="91"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> minCapacity = Math.min(minCapacity, residualGraph[u][v]); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="92"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="93"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="94"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 更新路径上的流量 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="95"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int v = target; v != source; v = parent[v]) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="96"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int u = parent[v]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="97"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> residualGraph[u][v] -= minCapacity; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="98"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> residualGraph[v][u] += minCapacity; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="99"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="100"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="101"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 增加最大流量 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="102"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> maxFlow += minCapacity; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="103"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="104"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="105"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 返回最大流量 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="106"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> return maxFlow; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="107"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="108"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="109"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> public static void main(String[] args) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="110"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int[][] graph = { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="111"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> {0, 3, 0, 3, 0, 0}, class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="112"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> {0, 0, 4, 0, 0, 0}, class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="113"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> {0, 0, 0, 1, 2, 0}, class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="114"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> {0, 0, 0, 0, 2, 6}, class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="115"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> {0, 0, 0, 0, 0, 1}, class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="116"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> {0, 0, 0, 0, 0, 0} class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="117"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> }; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="118"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int source = 0; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="119"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int target = 5; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="120"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="121"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> MaximumFlow maxFlow = new MaximumFlow(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="122"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int maxFlowValue = maxFlow.maxFlow(graph, source, target); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="123"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="124"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> System.out.println("The maximum flow from source " + source + " to target " + target + " is: " + maxFlowValue); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="125"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="126"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="127"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="128"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">} class="hljs-button signin active" data-title="登录复制" data-report-click="{"spm":"1001.2101.3001.4334"}" onclick="hljs.signin(event)">

class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="1"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">package org.zyf.javabasic.letcode.graph; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="2"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="3"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.ArrayList; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="4"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.Arrays; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="5"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.LinkedList; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="6"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.List; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="7"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">import java.util.Queue; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="8"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="9"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">/** class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="10"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * @author yanfengzhang class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="11"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * @description 图中的割边问题，也被称为最小割问题（Minimum Cut），是指在无向图中找到一条边，删除这条边后将图分成两个或多个连通分量，且删除后的连通分量数最小。以下是一个简化的描述： class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="12"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 给定一个无向图和它的顶点数量 n，以及图中的边集合 edges，每条边由两个顶点的索引组成。找到一条边，删除它后，将图分成两个或多个连通分量，且删除后的连通分量数最小。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="13"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 问题的目标是找到这条割边，或者判断给定的图中是否存在割边。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="14"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 请注意，最小割问题通常使用更复杂的算法来解决，例如图的最大流算法（Ford-Fulkerson 算法或 Edmonds-Karp 算法）结合深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="15"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * @date 2022/10/2 20:04 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="16"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> */ class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="17"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">public class MinimumCut { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="18"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> /** class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="19"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 最小割问题是一个经典的图论问题，其最优解法可以使用图的最大流算法来解决。以下是最小割问题的最优解法分析： class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="20"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 1. 使用图的最大流算法：最小割问题可以转化为图的最大流问题。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="21"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 首先，我们将给定的无向图转换为有向图，对于每条边 (u, v)，我们添加两条有向边 (u, v) 和 (v, u)，并将它们的容量都设为1。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="22"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 然后，我们使用最大流算法（如Ford-Fulkerson算法或Edmonds-Karp算法）找到图的最大流。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="23"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 2. 寻找割边：在最大流算法找到最大流后，我们需要寻找割边。割边是指从源节点（或起始节点）可达的节点与从汇点（或终止节点）可达的节点之间的边。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="24"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 在最大流算法中，我们可以通过标记可达节点的方法来寻找割边。首先，从源节点开始，通过遍历流量不为0的边，标记所有可达的节点。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="25"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 然后，我们遍历所有的边，找到一条连接一个被标记节点和一个未标记节点的边，即为割边。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="26"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 3. 输出结果：根据题目的要求，我们可以返回割边的具体信息，如两个顶点的索引或边的具体描述，或者只返回是否存在割边的布尔值。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="27"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 最大流算法的时间复杂度取决于具体的实现方法，常见的算法复杂度为 O(E * V^2)，其中 E 是边的数量，V 是顶点的数量。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="28"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> * 因此，最小割问题的解法在一般情况下具有较高的时间复杂度。 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="29"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> */ class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="30"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> public int findMinCut(int n, int[][] edges) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="31"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 构建有向图 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="32"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int[][] graph = new int[n][n]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="33"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int[] edge : edges) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="34"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int u = edge[0]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="35"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int v = edge[1]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="36"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int w = edge[2]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="37"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> graph[u][v] += w; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="38"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> graph[v][u] += w; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="39"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="40"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="41"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 使用Ford-Fulkerson算法求最大流 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="42"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int[] parent = new int[n]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="43"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int maxFlow = 0; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="44"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> while (bfs(graph, 0, n - 1, parent)) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="45"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int pathFlow = Integer.MAX_VALUE; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="46"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int v = n - 1; v != 0; v = parent[v]) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="47"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int u = parent[v]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="48"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> pathFlow = Math.min(pathFlow, graph[u][v]); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="49"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="50"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int v = n - 1; v != 0; v = parent[v]) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="51"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int u = parent[v]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="52"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> graph[u][v] -= pathFlow; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="53"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> graph[v][u] += pathFlow; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="54"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="55"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> maxFlow += pathFlow; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="56"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="57"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="58"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> return maxFlow; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="59"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="60"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="61"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> public List<int[]> findCutEdges(int n, int[][] edges) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="62"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 构建有向图 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="63"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int[][] graph = new int[n][n]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="64"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int[] edge : edges) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="65"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int u = edge[0]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="66"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int v = edge[1]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="67"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int w = edge[2]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="68"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> graph[u][v] += w; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="69"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> graph[v][u] += w; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="70"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="71"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="72"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 使用Ford-Fulkerson算法求最大流 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="73"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int[] parent = new int[n]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="74"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int maxFlow = 0; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="75"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> while (bfs(graph, 0, n - 1, parent)) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="76"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int pathFlow = Integer.MAX_VALUE; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="77"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int v = n - 1; v != 0; v = parent[v]) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="78"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int u = parent[v]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="79"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> pathFlow = Math.min(pathFlow, graph[u][v]); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="80"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="81"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int v = n - 1; v != 0; v = parent[v]) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="82"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int u = parent[v]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="83"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> graph[u][v] -= pathFlow; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="84"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> graph[v][u] += pathFlow; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="85"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="86"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> maxFlow += pathFlow; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="87"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="88"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="89"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 标记可达节点 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="90"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> boolean[] visited = new boolean[n]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="91"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> dfs(graph, 0, visited); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="92"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="93"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> // 找到割边 class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="94"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> List<int[]> cutEdges = new ArrayList<>(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="95"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int[] edge : edges) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="96"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int u = edge[0]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="97"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int v = edge[1]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="98"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> if (visited[u] && !visited[v] || !visited[u] && visited[v]) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="99"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> cutEdges.add(new int[]{u, v}); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="100"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="101"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="102"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="103"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> return cutEdges; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="104"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="105"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="106"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> private boolean bfs(int[][] graph, int s, int t, int[] parent) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="107"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int n = graph.length; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="108"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> boolean[] visited = new boolean[n]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="109"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> Queue queue = new LinkedList<>(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="110"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> queue.offer(s); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="111"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> visited[s] = true; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="112"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> parent[s] = -1; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="113"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> while (!queue.isEmpty()) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="114"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int u = queue.poll(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="115"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int v = 0; v < n; v++) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="116"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> if (!visited[v] && graph[u][v] > 0) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="117"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> queue.offer(v); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="118"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> visited[v] = true; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="119"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> parent[v] = u; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="120"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="121"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="122"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="123"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> return visited[t]; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="124"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="125"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="126"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> private void dfs(int[][] graph, int u, boolean[] visited) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="127"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> visited[u] = true; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="128"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int v = 0; v < graph.length; v++) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="129"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> if (graph[u][v] > 0 && !visited[v]) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="130"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> dfs(graph, v, visited); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="131"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="132"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="133"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="134"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="135"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> public static void main(String[] args) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="136"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int n = 6; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="137"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int[][] edges = {{0, 1, 2}, {0, 2, 3}, {1, 2, 1}, {1, 3, 4}, {2, 4, 5}, {3, 4, 2}, {3, 5, 1}, {4, 5, 4}}; class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="138"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> MinimumCut minimumCut = new MinimumCut(); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="139"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> int minCut = minimumCut.findMinCut(n, edges); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="140"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> List<int[]> cutEdges = minimumCut.findCutEdges(n, edges); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="141"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> System.out.println("最小割值为：" + minCut); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="142"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> System.out.println("割边为："); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="143"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> for (int[] edge : cutEdges) { class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="144"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> System.out.println(Arrays.toString(edge)); class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="145"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="146"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line"> } class="hljs-ln-numbers"> class="hljs-ln-line hljs-ln-n" data-line-number="147"> class="hljs-ln-code"> class="hljs-ln-line">} class="hljs-button signin active" data-title="登录复制" data-report-click="{"spm":"1001.2101.3001.4334"}" onclick="hljs.signin(event)">

图论总结与编程练习

一、图论基础分析

（一）基本介绍

（二）JDK中的应用分析

（三）其他框架中的使用介绍

二、相关编程练习题

1、单词接龙（Word Ladder）

2、克隆图（Clone Graph）

3、岛屿数量（Number of Islands）

4、网络延迟时间（Network Delay Time）

5、单源最短路径（Dijkstra 算法）

6、负权最短路径问题（Negative Weight Shortest Path Problem）

7、具有最小生成树的连通图的最小代价（Prim 算法）

8、找到最终的安全状态（Find Eventual Safe States）

9、网络流问题的最大流（Maximum Flow）

10、图中的可变流量（Graph Valid Tree）

11、图中的割边（Minimum Cut）

12、隐藏的好友（Friend Circles）

13、欧拉路径（Eulerian Path）

14、哈密顿路径（Hamiltonian Path）

15、判断是否为二分图（Is Graph Bipartite?）

16、用颜色填充区域（Coloring A Border）

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