6-3 Young氏矩阵
    一个m x n的Young氏矩阵（Young tableau）是一个m x n的矩阵，其中每一行的数据都从左到右排序，每一列的数据都从上到下排序。Young氏矩阵中可能会有一些∞数据项，表示不存在的元素。所以，Young氏矩阵可以用来存放r≦mn个有限的数。
    a）画一个包含元素{9，6，3，2，4，8，5，14，12}的4 x 4的Young氏矩阵。
    b）讨论一个m x n的Young氏矩阵，如果Y[1,1]=∞，则Y为空；如果Y[m,n]<∞，则Y是满的（包含m x n个元素）。
    c）给出一个在非空m x n的Young氏矩阵上实现EXTRACT-MIN的算法，使其运行时间为O(m+n)。你的算法应该使用一个递归子过程，它通过递归地解决(m-1) x n或m x (n-1)子问题来解决m x n的问题。（提示：考虑一个MAX-HEPIFY。）定义T(p)为EXTRACT-MIN在任何m x n Young氏矩阵上的最大运行时间，其中p=m+n。给出表达T(p)的、界为O(m+n)的递归式，并解该递归式。
    d)说明如何在O(m+n)时间内，将一个新元素插入到一个未满的m x n Young氏矩阵中。
    e)在不用其他排序算法帮助的情况下，说明如何利用n x n Young氏矩阵对n^2个数排序的运行时间为O(n^3)。
    f)给出一个运行时间为O(m+n)的算法，来决定一个给定的数是否在于一个给定的的m x n Young氏矩阵内。

分析与解答：

     a）遵循每一行的数据都从左到右排序，每一列的数据都从上到下排序，可以很容易写出一个可能的Young氏矩阵

          2       3       4        5

          6       8       9        12

         14      ∞      ∞       ∞

          ∞      ∞      ∞       ∞

     b）Y[1,1]是Young氏矩阵中最小的元素，如果它为∞，说明矩阵中每个元素的值均不小于∞，即每个元素均是∞，所以Y为空；Y[m,n]是Young氏矩阵中最大的元素，如果Y[m,n]<∞，说明矩阵中每个元素均小于∞，即Y是满的

     c）采用类似堆中提取最小元素的方法：将Young氏矩阵中最末的元素和第一个元素交换，然后类似MAX-HEAPIFY的方法调整第一个元素，整个过程如下：

YOUNG-EXTRACT-MIN(A) min←A[1,1] A[1,1]←A[m,n] YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, 1, 1) return min YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, i, j) if j<n and A[i,j]>A[i,j+1] then (min_i, min_j) = (i, j+1) else (min_i, min_j) = (i, j) if i<m and A[min_i, min_j] > A[i+1,j] then (min_i, min_j) = (i+1, j) if min_i≠i or min_j≠j then exchange A[i,j]↔A[min_i,min_j] YOUNG-MIN-HEAPIFY(A,min_i,min_j

而YOUNG-MIN-HEPIFY是一个递归过程。YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, m, n)会和它紧邻的结点比较，要么调用YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, m, n-1)，要么调用YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, m-1, n)。若令p=m+n，则有：

     T(p)= T(p-1)+O(1)

则总的运行时间为O(p)，即为O(m+n)

   d）采用类似堆中增加元素的方法，先将∞放在Young矩阵的末尾，然后采用类似INCREASE-KEY的方法，向上调整

YOUNG-ISNERT(A, key) (m, n) ← size(A) if A[m,n]<∞ then error " YOUNG matrix overflow" A[m, n]←∞ YOUNG-DECREASE-KEY(A, m, n, key) YOUNG-DECREASE-KEY(A, i, j, key) if j>1 and A[i,j] < A[i,j-1] then (max_i, max_j) = (i, j-1) else (max_i, max_j) = (i, j) if i>1 and A[max_i, max_j] > A[i-1,j] then (max_i, max_j) = (i-1, j) if max_i≠i or max_j≠j then exchange A[i,j]↔A[max_i,max_j] YOUNG-DECREASE-KEY(A,max_i,max_j) 

类似于上面的分析，若令p=m+n，则有：

     T(p)= T(p-1)+O(1)

则总的运行时间为O(p)，即为O(m+n)

    e）每次提取其中的最小元素，调用YOUNG-EXTRACT-MIN，共需调用n  x n次，而每次YOUNG-EXTRACT-MIN需要O(n+n)运行时间，故总的运行时间为O(n^3)

   f）每次与最右上角的元素X相比：如果等于X，则找到了；如果小于X，则去掉最上面一行；如果大于X，则去掉最右边一行。

每次比较去掉一行或一列，则该算法的运行时间为O(m+n)

YOUNG-SEARCH(A, i, j, m, n, key) //(i,j) and (m,n) was the coordinate of the left-top and the right-bottom of the sub YOUNG matrix if i>m or j>n then error "can't find the key" if A[i,n]==key then return (i,n) else if max_A[i,n]<key then YOUNG-SEARCH(i+1, j, m, n, key) else YOUNG-SEARCH(i, j, m , n-1, key)