精通八大排序算法系列：二、堆排序算法

作者:July 、二零一一年二月二十日
本文参考：Introduction To Algorithms，second edition。
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     此精通排序算法系列，前一节，已讲过了一、快速排序算法，其中，快速排序每一趟比较用时O（n），要进行lgn次比较，才最终完成整个排序。所以快排的复杂度才为O（n*lgn）。而本节，我们要讲的是堆排序算法。据我所知，要真正彻底认识一个算法，最好是去查找此算法的原发明者的论文或相关文献。

ok，此节，咱们开始吧。

一、堆排序算法的基本特性
时间复杂度：O(nlgn)...
//等同于归并排序
最坏：O(nlgn)
空间复杂度：O(1).
不稳定。

二、堆与最大堆的建立
要介绍堆排序算法，咱们得先从介绍堆开始，然后到建立最大堆，最后才讲到堆排序算法。

2.1、堆的介绍
    如下图，

a），就是一个堆，它可以被视为一棵完全二叉树。
每个堆对应于一个数组b），假设一个堆的数组A，
我们用length[A]表述数组中的元素个数，heap-size[A]表示本身存放在A中的堆的元素个数。
当然，就有，heap-size[A]<=length[A]。

    树的根为A[1]，i表示某一结点的下标，
则父结点为PARENT(i)，左儿子LEFT[i]，右儿子RIGHT[i]的关系如下：

PARENT(i)
   return |_i/2_|

LEFT(i)
   return 2i

RIGHT(i)
   return 2i + 1

    二叉堆根据根结点与其子结点的大小比较关系，分为最大堆和最小堆。
最大堆：
根以外的每个结点i都不大于其根结点，即根为最大元素，在顶端，有
     A[PARENT(i)] （根）≥ A[i] ,

最小堆：
根以外的每个结点i都不小于其根结点，即根为最小元素，在顶端，有
     A[PARENT(i)] （根）≤ A[i] .

在本节的堆排序算法中，我们采用的是最大堆；最小堆，通常在构造最小优先队列时使用。

    由前面，可知，堆可以看成一棵树，所以，堆的高度，即为树的高度，O(lgn)。
所以，一般的操作，运行时间都是为O(lgn)。

具体，如下：
The MAX-HEAPIFY：O(lgn)  这是保持最大堆的关键.
The BUILD-MAX-HEAP:线性时间。在无序输入数组基础上构造最大堆。
The HEAPSORT：O(nlgn) time, 堆排序算法是对一个数组原地进行排序.
The MAX-HEAP-INSERT, HEAP-EXTRACT-MAX, HEAP-INCREASE-KEY, HEAP-MAXIMUM：O(lgn)。
可以让堆作为最小优先队列使用。 

2.2.1、保持堆的性质(O（lgn）)

     为了保持最大堆的性质，我们运用MAX-HEAPIFY操作，作调整，递归调用此操作，使i为根的子树成为最大堆。

MAX-HEAPIFY算法，如下所示（核心）：

MAX-HEAPIFY(A, i)
 1 l ← LEFT(i)
 2 r ← RIGHT(i)
 3 if l ≤ heap-size[A] and A[l] > A[i]
 4    then largest ← l
 5    else largest ← i
 6 if r ≤ heap-size[A] and A[r] > A[largest]
 7    then largest ← r
 8 if largest ≠ i
 9    then exchange A[i] <-> A[largest]
10         MAX-HEAPIFY(A, largest) 

     如上，首先第一步，在对应的数组元素A[i], 左孩子A[LEFT(i)], 和右孩子A[RIGHT(i)]中找到最大的那一个，将其下标存储在largest中。如果A[i]已经就是最大的元素，则程序直接结束。否则，i的某个子结点为最大的元素，将其，即A[largest]与A[i]交换，从而使i及其子女都能满足最大堆性质。下标largest所指的元素变成了A[i]的值，会违反最大堆性质，所以对largest所指元素调用MAX-HEAPIFY。如下，是此MAX-HEAPIFY的演示过程（下图是把4调整到最底层，一趟操作，但摸索的时间为LogN）：

     由上图，我们很容易看出，初始构造出一最大堆之后，在元素A[i]，即16，大于它的俩个子结点4、10，满足最大堆性质。所以，i下调指向着4,小于,左子14，所以，调用MAX-HEAPIFY，4与其子，14交换位置。但4处在了14原来的位置之后，4小于其右子8，又违反了最大堆的性质，所以再递归调用MAX-HEAPIFY，将4与8，交换位置。于是，满足了最大堆性质，程序结束。

2.2.2、MAX-HEAPIFY的运行时间
   MAX-HEAPIFY作用在一棵以结点i为根的、大小为n的子树上时，其运行时间为调整元素A[i]、A[LEFT(i)]，A[RIGHT(i)]的关系时所用时间为O(1)，再加上，对以i的某个子结点为根的子树调用MAX-HEAPIFY所需的时间，且i结点的子树大小至多为2n/3，所以，MAX-HEAPIFY的运行时间为
     T (n) ≤ T(2n/3) + Θ(1).

我们，可以证得此式子的递归解为T(n)=O(lgn)。具体证法，可参考算法导论第6章之6.2节，这里，略过。

2.3.1、建堆(O（N）)

BUILD-MAX-HEAP(A)
1  heap-size[A] ← length[A]
2  for i ← |_length[A]/2_| downto 1
3       do MAX-HEAPIFY(A, i)    //建堆，怎么建列?原来就是不断的调用MAX-HEAPIFY(A, i)来建立最大堆。

BUILD-MAX-HEAP通过对每一个其它结点，都调用一次MAX-HEAPIFY，
来建立一个与数组A[1...n]相对应的最大堆。A[(|_n/2_|+1) ‥ n]中的元素都是树中的叶子。
因此，自然而然，每个结点，都可以看作一个只含一个元素的堆。

关于此过程BUILD-MAX-HEAP(A)的正确性，可参考算法导论 第6章之6.3节。
下图，是一个此过程的例子（下图是不断的调用MAX-HEAPIFY操作，把所有的违反堆性质的数都要调整，共N趟操作，然，摸索时间最终精确为O（N））：

2.3.2、BUILD-MAX-HEAP的运行时间
       因为每次调用MAX-HEAPPIFY的时间为O(lgn)，而共有O(n)次调用，所以BUILD-MAX-HEAP的简单上界为O(nlgn)。算法导论一书提到，尽管这个时间界是对的，但从渐进意义上，还不够精确。

       那么，更精确的时间界，是多少列?
由于，MAX-HEAPIFY在树中不同高度的结点处运行的时间不同，且大部分结点的高度都比较小，
而我们知道，一n个元素的堆的高度为|_lgn_|(向下取整)，且在任意高度h上，至多有|-n/2^h+1-|(向上取整)个结点。

因此，MAX-HEAPIFY作用在高度为h的结点上的时间为O(h)，所以，BUILD-MAX-HEAP的上界为：O（n）。具体推导过程，略。
 

三、堆排序算法

     所谓的堆排序，就是调用上述俩个过程：一个建堆的操作、BUILD-MAX-HEAP，一个保持最大堆的操作、MAX-HEAPIFY。详细算法如下：

HEAPSORT(A)    //n-1次调用MAX-HEAPIFY，所以，O（n*lgn）
1 BUILD-MAX-HEAP(A)      //建最大堆，O（n）
2 for i ← length[A] downto 2
3    do exchange A[1] <-> A[i]
4       heap-size[A] ← heap-size[A] - 1
5       MAX-HEAPIFY(A, 1)    //保持堆的性质，O（lgn） 

     如上，即是堆排序算法的完整表述。下面，再贴一下上述堆排序算法中的俩个建堆、与保持最大堆操作：
BUILD-MAX-HEAP(A)  //建堆
1  heap-size[A] ← length[A]
2  for i ← |_length[A]/2_| downto 1
3       do MAX-HEAPIFY(A, i)

MAX-HEAPIFY(A, i)     //保持最大堆
 1 l ← LEFT(i)
 2 r ← RIGHT(i)
 3 if l ≤ heap-size[A] and A[l] > A[i]
 4    then largest ← l
 5    else largest ← i
 6 if r ≤ heap-size[A] and A[r] > A[largest]
 7    then largest ← r
 8 if largest ≠ i
 9    then exchange A[i] <-> A[largest]
10         MAX-HEAPIFY(A, largest) 

以下是，堆排序算法的演示过程（通过，顶端最大的元素与最后一个元素不断的交换，交换后又不断的调用MAX-HEAPIFY以重新维持最大堆的性质，最后，一个一个的，从大到小的，把堆中的所有元素都清理掉，也就形成了一个有序的序列。这就是堆排序的全部过程。）：

上图中，a->b，b->c，....之间，都有一个顶端最大元素与最小元素交换后，调用MAX-HEAPIFY的过程，我们知道，此MAX-HEAPIFY的运行时间为O（lgn），而要完成整个堆排序的过程，共要经过O（n）次这样的MAX-HEAPIFY操作。所以，才有堆排序算法的运行时间为O（n*lgn）。

后续：把堆想象成为一种树，二叉树之类的。所以，用堆做数据查找、删除的时间复杂度皆为O（logN）。 那么是一种什么样的二叉树列?一种特殊的二叉树，分为最大堆，最小堆。最大堆，就是上头大，下头小。最小堆就是上头小，下头大。

完。