第三十九~第四十章：最近公共祖先LCA、打印螺旋矩阵

前言

    整个编程艺术系列写到了本第三十九和第四十章，系列越写到后，对题材的选取越严格，写作过程也更困难，毕竟不是任何一个编程问题都可以收录到本系列中。

    再者，之前已写的38章尚存在诸多问题，为了和大家一起更好的改进整个系列，特把它同步到了github上，见：https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-by-July。如此，任何人都可以在github上改进本系列，包括指正bug、优化代码、重绘图片、英文翻译等等工作。

    当然，除了review已写的38章，亦会尽快加速完成后续的十二个章节。本文主要写两个问题：

• 第三十九章、求二叉树的任意两个节点的最近公共祖先；
• 第四十章、打印螺旋矩阵

第三十九章、最近公共祖先LCA问题

问题描述：求二叉树的任意两个节点的最近公共祖先。

题意分析

    这个问题来自去年10月整理的腾讯笔试题，即此文第31题：http://iyenn.com/rec/1691595.html，网上也有很多文章阐述了这个问题，然要么是阐述不够细致规范，要么千篇一律的晦涩难懂，希望本文能把这个问题阐述的明明白白。

    解答这个问题之前，咱们得先搞清楚到底什么是最近公共祖先。最近公共祖先简称LCA，所谓LCA，是当给定一个有根树T时，对于任意两个结点u、v，找到一个离根最远的结点x，使得x同时是u和v的祖先，x 便是u、v的最近公共祖先。

    举个例子，如针对下图所示的一棵普通的二叉树来讲：

    结点3和结点4的最近公共祖先是结点2，即LCA（3 4）=2 。在此，需要注意到当两个结点在同一棵子树上的情况，如结点3和结点2的最近公共祖先为2，即 LCA（3 2）=2。同理：LCA（5 6）=4，LCA（6 10）=1。

    明确了题意，咱们便来试着解决这个问题。一般文章的做法，可能是针对是否为二叉查找树分情况讨论，想必这也是一般人最先想到的思路。除此之外，还有所谓的Tarjan算法、倍增算法、以及转换为RMQ问题（求某段区间的极值）。

    下面，便来一一具体阐述这几种方法。

解法一、暴力对待

1.1、是二叉查找树

    在当这棵树是二叉查找树的情况下，如下图：

    那么从树根开始：

• 如果当前结点t 大于结点u、v，说明u、v都在t 的左侧，所以它们的共同祖先必定在t 的左子树中，故从t 的左子树中继续查找；
• 如果当前结点t 小于结点u、v，说明u、v都在t 的右侧，所以它们的共同祖先必定在t 的右子树中，故从t 的右子树中继续查找；
• 如果当前结点t 满足 u
• 而如果u是v的祖先，那么返回u的父结点，同理，如果v是u的祖先，那么返回v的父结点。

  代码如下所示：

//copyright@eriol 2011
//modified by July 2014
public int query(Node t, Node u, Node v) {  
	int left = u.value;  
	int right = v.value;  
	Node parent = null;  
 
	//二叉查找树内，如果左结点大于右结点，不对，交换
	if (left > right) {  
		int temp = left;  
		left = right;  
		right = temp;  
	}  
 
	while (true) {  
		//如果t小于u、v，往t的右子树中查找
		if (t.value < left) {  
			parent = t;  
			t = t.right;  
 
		//如果t大于u、v，往t的左子树中查找
		} else if (t.value > right) {  
			parent = t;  
			t = t.left;  
		} else if (t.value == left || t.value == right) {  
			return parent.value;  
		} else {  
			return t.value;  
		}  
	}  
}  

1.2、不是二叉查找树

    但如果这棵树不是二叉查找树，只是一棵普通的二叉树呢？一网友何海涛在他博客中用了一种蛮力方法。由于每个结点都有一个指针指向它的父结点，于是我们可以从任何一个结点出发，得到一个到达树根结点的单向链表。因此这个问题转换为两个单向链表的第一个公共结点。

    我不想再在这里重复赘述，有兴趣的可以看原文。

    事实上，正如本文读者allantop所说，如果给出根节点，LCA问题可以用递归很快解决。而关于树的问题一般都可以转换为递归（因为树本来就是递归描述），故可写下如下代码：

//copyright@allantop 2014-1-22-20:01
node* getLCA(node* root, node* node1, node* node2)
{
	if(root == null)
		return null;
	if(root== node1 || root==node2)
		return root;
 
	node* left = getLCA(root->left, node1, node2);
	node* right = getLCA(root->right, node1, node2);
 
	if(left != null && right != null)
		return root;
	else if(left != null)
		return left;
	else if (right != null)
		return right;
	else 
		return null;
}

    然不论是针对普通的二叉树，还是针对二叉查找树，上面的解法有一个很大的弊端就是：如需N 次查询，则总体复杂度会扩大N 倍，故这种暴力解法仅适合一次查询，不适合多次查询。

    接下来的解法，将不再区别对待是否为二叉查找树，而是一致当做是一棵普通的二叉树。总体来说，由于可以把LCA问题看成是询问式的，即给出一系列询问，程序对每一个询问尽快做出反应。故处理这类问题一般有两种解决方法：

• 一种是在线算法，相当于循序渐进处理；
• 另外一种则是离线算法，如Tarjan算法，相当于一次性批量处理，一开始就知道了全部查询，只待询问。

解法二、Tarjan算法

    如上文末节所述，不论咱们所面对的二叉树是二叉查找树，或不是二叉查找树，都可以把求任意两个结点的最近公共祖先，当做是查询的问题，如果是只求一次，则是单次查询；如果要求多个任意两个结点的最近公共祖先，则相当于是批量查询。

    涉及到批量查询的时候，咱们可以借鉴离线处理的方式，这就引出了解决此LCA问题的Tarjan离线算法。

2.1、什么是Tarjan算法

    Tarjan算法 （以发现者Robert Tarjan命名）是一个在图中寻找强连通分量的算法。算法的基本思想为：任选一结点开始进行深度优先搜索dfs（若深度优先搜索结束后仍有未访问的结点，则再从中任选一点再次进行）。搜索过程中已访问的结点不再访问。搜索树的若干子树构成了图的强连通分量。

    应用到咱们要解决的LCA问题上，则是：对于新搜索到的一个结点u，先创建由u构成的集合，再对u的每颗子树进行搜索，每搜索完一棵子树，这时候子树中所有的结点的最近公共祖先就是u了。

    引用此文的一个例子，如下图（不同颜色的结点相当于不同的集合）：

    假设遍历完10的孩子,要处理关于10的请求了，取根节点到当前正在遍历的节点的路径为关键路径,即1-3-8-10，集合的祖先便是关键路径上距离集合最近的点。

    比如：

• 1，2，5，6为一个集合,祖先为1，集合中点和10的LCA为1
• 3，7为一个集合，祖先为3，集合中点和10的LCA为3
• 8，9，11为一个集合，祖先为8，集合中点和10的LCA为8
• 10，12为一个集合，祖先为10，集合中点和10的LCA为10

2.2、Tarjan算法如何而来

    但关键是 Tarjan算法是怎么想出来的呢？再给定下图，你是否能看出来：分别从结点1的左右子树当中，任取一个结点，设为u、v，这两个任意结点u、v的最近公共祖先都为1。

    于此，我们可以得知：若两个结点u、v分别分布于某节点t 的左右子树，那么此节点 t即为u和v的最近公共祖先。更进一步，考虑到一个节点自己就是LCA的情况，得知：

• 若某结点t 是两结点u、v的祖先之一，且这两结点并不分布于该结点t 的一棵子树中，而是分别在结点t 的左子树、右子树中，那么该结点t 即为两结点u、v的最近公共祖先。

    这个定理就是Tarjan算法的基础。

    一如上文1.1节我们得到的结论：“如果当前结点t 满足 u ”。

    而对于本节开头我们所说的“如果要求多个任意两个结点的最近公共祖先，则相当于是批量查询”，即在很多组的询问的情况下，或许可以先确定一个LCA。例如是根节点1，然后再去检查所有询问，看是否满足刚才的定理，不满足就忽视，满足就赋值，全部弄完，再去假设2号节点是LCA，再去访问一遍。

    可此方法需要判断一个结点是在左子树、还是右子树，或是都不在，都只能遍历一棵树，而多次遍历的代价实在是太大了，所以我们需要找到更好的方法。这就引出了下面要阐述的Tarjan算法，即每个结点只遍历一次，怎么做到的呢，请看下文讲解。

2.3、Tarjan算法流程

    Tarjan算法流程为：

Procedure dfs（u）；
begin
设置u号节点的祖先为u
若u的左子树不为空，dfs（u - 左子树）；
若u的右子树不为空，dfs（u - 右子树）；
访问每一条与u相关的询问u、v
-若v已经被访问过，则输出v当前的祖先t（t即u,v的LCA）
标记u为已经访问，将所有u的孩子包括u本身的祖先改为u的父亲
end

    普通的dfs 不能直接解决LCA问题，故Tarjan算法的原理是dfs + 并查集，它每次把两个结点对的最近公共祖先的查询保存起来，然后dfs 更新一次。如此，利用并查集优越的时空复杂度，此算法的时间复杂度可以缩小至O(n＋Q)，其中，n为数据规模，Q为询问个数。

2.4、Tarjan算法的应用举例

    引用此文中的一个例子。

i) 访问1的左子树

    如上所述：进行到此step7，当访问完结点2的左子树（3），和右子树（4、5、6）后，结点2、3、4、5、6这5个结点中，任意两个结点的最近公共祖先均为2。

ii) 访问1的右子树

    当进行到此step12，访问完1的左子树（2、3、4、5、6），和右子树（7、8）后，结点2、3、4、5、6、7、8这7个结点中任意两个结点的最近公共祖先均为1。

解法三、转换为RMQ问题

    解决此最近公共祖先问题的还有一个算法，即转换为RMQ问题，用Sparse Table（简称ST）算法解决。

    Topcoder上有一篇详细阐述RMQ问题的“ Range Minimum Query and Lowest Common Ancestor ”，网上也有翻译版。在此，我来简单引用 & 总结下。至于为何要总结的原因很简单：因为在这里不总结的话，你不会看晦涩难懂的原文，而在这里总结了，你兴许会看。

3.1、什么是RMQ问题

    RMQ，全称为Range Minimum Query，顾名思义，则是区间最值查询，它被用来在数组中查找两个指定索引中最小值的位置。即RMQ相当于给定数组A[0, N-1]，找出给定的两个索引如 i、j 间的最小值的位置。

    假设一个算法预处理时间为 f(n)，查询时间为g(n)，那么这个算法复杂度的标记为。我们将用RMQ_A(i, j) 来表示数组A 中索引i 和 j 之间最小值的位置。 u和v的离树T根结点最远的公共祖先用LCA T(u, v)表示。

    如下图所示，RMQ_A(2,7 )则表示求数组A中从A[2]~A[7]这段区间中的最小值：

3.2、如何解决RMQ问题

3.2.1、Trivial algorithms for RMQ

    下面，我们对对每一对索引(i, j)，将数组中索引i 和 j 之间最小值的位置 RMQ_A(i, j) 存储在M[0, N-1][0, N-1]表中。 RMQ_A(i, j) 有不同种计算方法，你会看到，随着计算方法的不同，它的时空复杂度也不同：

• 普通的计算将得到一个 复杂度的算法。尽管如此，通过使用一个简单的动态规划方法，我们可以将复杂度降低到。如何做到的呢？方法如下代码所示：

//copyright@
//modified by July 2014
void process1(int M[MAXN][MAXN], int A[MAXN], int N)
{
	int i, j;
	for (i =0; i < N; i++)
		M[i][i] = i;
 
	for (i = 0; i < N; i++)
		for (j = i + 1; j < N; j++)
			//若前者小于后者，则把后者的索引值付给M[i][j]
			if (A[M[i][j - 1]] < A[j])
				M[i][j] = M[i][j - 1];
			//否则前者的索引值付给M[i][j]
			else
				M[i][j] = j;
}

• 一个比较有趣的点子是把向量分割成sqrt(N)大小的段。我们将在M[0,sqrt(N)-1]为每一个段保存最小值的位置。如此，M可以很容易的在O(N)时间内预处理。

• 一个更好的方法预处理RMQ 是对2^k 的长度的子数组进行动态规划。我们将使用数组M[0, N-1][0, logN]进行保存，其中M[ i ][ j ] 是以i 开始，长度为 2^j 的子数组的最小值的索引。这就引出了咱们接下来要介绍的Sparse Table (ST) algorithm。
  

根据上述公式，可以写出这个预处理的递归代码，如下：

void process2(int M[MAXN][LOGMAXN], int A[MAXN], int N)
{
	int i, j;
	//initialize M for the intervals with length 1
 
	for (i = 0; i < N; i++)
		M[i][0] = i;
 
	//compute values from smaller to bigger intervals
	for (j = 1; 1 << j <= N; j++)
		for (i = 0; i + (1 << j) - 1 < N; i++)
			if (A[M[i][j - 1]] < A[M[i + (1 << (j - 1))][j - 1]])
				M[i][j] = M[i][j - 1];
			else
				M[i][j] = M[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
}  

    经过这个O(N logN)时间复杂度的预处理之后，让我们看看怎样使用它们去计算 RMQ_A(i, j)。思路是选择两个能够完全覆盖区间[i..j]的块并且找到它们之间的最小值。设k = [log(j - i + 1)]。

    为了计算 RMQ_A(i, j)，我们可以使用下面的公式：

    故，综合来看，咱们预处理的时间复杂度从O(N³)降低到了O(N logN)，查询的时间复杂度为O(1)，所以最终的整体复杂度为：<O(N logN), O(1)>。

3.2.3、线段树Segment trees

    解决RMQ问题也可以用所谓的线段树。线段树是一个类似堆的数据结构，可以在基于区间数组上用对数时间进行更新和查询操作。我们用下面递归方式来定义线段树的[i, j]区间：

• 第一个结点将保存区间[i, j]区间的信息
• 如果i

      注意具有N个区间元素的线段树的高度为[logN] + 1。下面是区间[0,9]的线段树：

    线段树和堆具有相同的结构，因此我们定义x是一个非叶结点，那么左孩子结点为2*x,而右孩子结点为2*x+1。想要使用线段树解决RMQ问题，我们则要要使用数组 M[1, 2 * 2[logN] + 1]，这里M[i]保存结点i区间最小值的位置。初始时M的所有元素为-1。树应当用下面的函数进行初始化(b和e是当前区间的范围)：

void initialize(int node, int b, int e, int M[MAXIND], int A[MAXN], int N)
{
	if (b == e)
		M[node] = b;
	else
	{
		//compute the values in the left and right subtrees
		initialize(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, N);
		initialize(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, N);
 
		//search for the minimum value in the first and
		//second half of the interval
		if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])
			M[node] = M[2 * node];
		else
			M[node] = M[2 * node + 1];
	}
}

int query(int node, int b, int e, int M[MAXIND], int A[MAXN], int i, int j)
{
	int p1, p2;
	//if the current interval doesn't intersect
	//the query interval return -1
	if (i > e || j < b)
		return -1;
 
	//if the current interval is included in
	//the query interval return M[node]
	if (b >= i && e <= j)
		return M[node];
 
	//compute the minimum position in the
	//left and right part of the interval
	p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);
	p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);
 
	//return the position where the overall
	//minimum is
	if (p1 == -1)
		return M[node] = p2;
	if (p2 == -1)
		return M[node] = p1;
	if (A[p1] <= A[p2])
		return M[node] = p1;
	return M[node] = p2;
}

     可以很容易的看出任何查询都可以在O(log N)内完成。注意当我们碰到完整的in/out区间时我们停止了，因此数中的路径最多分裂一次。用线段树我们获得了<O(N),O(logN)>的算法。

    线段树非常强大，不仅仅是因为它能够用在RMQ上，还因为它是一个非常灵活的数据结构，它能够解决动态版本的RMQ问题和大量的区间搜索问题。

3.3、LCA与RMQ的关联性

    现在，让我们看看怎样用RMQ来计算LCA查询。事实上，我们可以在线性时间里将LCA问题规约到RMQ问题，因此每一个解决RMQ的问题都可以解决LCA问题。让我们通过例子来说明怎么规约的：

    注意LCAT(u, v)是在对T进行dfs过程当中在访问u和v之间离根结点最近的点。因此我们可以考虑树的欧拉环游过程u和v之间所有的结点，并找到它们之间处于最低层的结点。为了达到这个目的，我们可以建立三个数组：

1. E[1, 2*N-1]  - 对T进行欧拉环游过程中所有访问到的结点;E[i]是在环游过程中第i个访问的结点
2. L[1,2*N-1] -  欧拉环游中访问到的结点所处的层数;L[i]是E[i]所在的层数
3. H[1, N] - H[i] 是E中结点i第一次出现的下标(任何出现i的地方都行，当然选第一个不会错)
   

    假定H[u]

    注意L中连续的元素相差为1。

3.4、从RMQ到LCA

    我们已经看到了LCA问题可以在线性时间规约到RMQ问题。现在让我们来看看怎样把RMQ问题规约到LCA。这个意味着我们实际上可以把一般的RMQ问题规约到带约束的RMQ问题(这里相邻的元素相差1)。为了达到这个目的，我们需要使用笛卡尔树。
    对于数组A[0,N-1]的笛卡尔树C(A)是一个二叉树，根节点是A的最小元素，假设i为A数组中最小元素的位置。当i>0时，这个笛卡尔树的左子结点是A[0,i-1]构成的笛卡尔树，其他情况没有左子结点。右结点类似的用A[i+1,N-1]定义。注意对于具有相同元素的数组A，笛卡尔树并不唯一。在本文中，将会使用第一次出现的最小值，因此笛卡尔树看作唯一。可以很容易的看到RMQA(i, j) = LCAC(i, j)。
    下面是一个例子：

    现在我们需要做的仅仅是用线性时间计算C(A)。这个可以使用栈来实现。

1. 初始栈为空。
2. 然后我们在栈中插入A的元素。
3. 在第i步,A[i]将会紧挨着栈中比A[i]小或者相等的元素插入,并且所有较大的元素将会被移除。
4. 在插入结束之前栈中A[i]位置前的元素将成为i的左儿子，A[i]将会成为它之后一个较小元素的右儿子。

    在每一步中，栈中的第一个元素总是笛卡尔树的根。

    如果使用栈来保存元素的索引而不是值，我们可以很轻松的建立树。由于A中的每个元素最多被增加一次和最多被移除一次，所以建树的时间复杂度为O(N)。最终查询的时间复杂度为O(1)，故综上可得，咱们整个问题的最终时间复杂度为：<O(N), O(1)>。

   现在，对于询问 RMQA(i, j) 我们有两种情况:

• i和j在同一个块中,因此我们使用在P和T中计算的值 
• i和j在不同的块中，因此我们计算三个值:从i到i所在块的末尾的P和T中的最小值，所有i和j中块中的通过与处理得到的最小值以及从j所在块i和j在同一个块中,因此我们使用在P和T中计算的值j的P和T的最小值；最后我们我们只要计算三个值中最小值的位置即可。

    RMQ和LCA是密切相关的问题，因为它们之间可以相互规约。有许多算法可以用来解决它们，并且他们适应于一类问题。

    更多细节请看原文。

其余解法

    除此之外，还有倍增法、重链剖分算法和后序遍历也可以解决该问题。其中，倍增思路相当于层序遍历，逐层或几层跳跃查，查询时间复杂度为O(log n)，空间复杂度为nlogn，对于每个节点先存储向上1层2层4层的节点，每个点有depth信息。

    感兴趣的可以查看其它资料继续了解，本章完。

第四十章、螺旋矩阵

Given a matrix of m x n elements (m rows, n columns), return all elements of the matrix in spiral order。一句话，即为螺旋矩阵问题。
举个例子，给定如下的一个矩阵:
[
 [ 1, 2, 3 ],
 [ 4, 5, 6 ],
 [ 7, 8, 9 ]
]
你应该返回：[1,2,3,6,9,8,7,4,5]。如下图所示，遍历顺序为螺旋状：

以下是一份参考代码：

//代码来源：http://discuss.leetcode.com/questions/29/spiral-matrix。
class Solution {    
public:    
	vector<int> spiralOrder(vectorint> >& matrix) {    
		vector<int> result;    
		if (matrix.empty()) return result;    
		ssize_t beginX = 0, endX = matrix[0].size() - 1;    
		ssize_t beginY = 0, endY = matrix.size() - 1;    
 
		while (true) {    
			// From left to right    
			for (ssize_t i = beginX; i <= endX; ++i)    
				result.push_back(matrix[beginY][i]);    
			if (++beginY > endY) break;    
 
			// From top down    
			for (ssize_t i = beginY; i <= endY; ++i)    
				result.push_back(matrix[i][endX]);    
			if (beginX > --endX) break;    
 
			// From right to left    
			for (ssize_t i = endX; i >= beginX; --i)    
				result.push_back(matrix[endY][i]);    
			if (beginY > --endY) break;    
 
			// From bottom up    
			for (ssize_t i = endY; i >= beginY; --i)    
				result.push_back(matrix[i][beginX]);    
			if (++beginX > endX) break;    
		}    
		return result;    
	}    
};    

参考文献

1. 九月十月百度，迅雷，华为，阿里巴巴，最新校招笔试面试六十题：http://iyenn.com/rec/1691595.html；
   
2. http://eriol.iteye.com/blog/1170465；
   
3. http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174201081263815813/；
   
4. http://scturtle.is-programmer.com/posts/30055.html；
   
5. http://iyenn.com/rec/1691828.html；
   
6. wikipedia上关于Tarjan算法的介绍：http://zh.wikipedia.org/wiki/Tarjan%E7%AE%97%E6%B3%95；
7. topcoder上一篇介绍RMQ问题文章《Range Minimum Query and Lowest Common Ancestor》http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=lowestCommonAncestor；
   
8. http://www.cnblogs.com/drizzlecrj/archive/2007/10/23/933472.html；
   
9. wikipedia上关于RMQ的介绍：http://en.wikipedia.org/wiki/Range_Minimum_Query；
10. 并查集wikipedia：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86；

后记

    很高兴，要跟大家分享一个好消息，即从2011年年初至今，便一直被各个出版社的朋友催促出书，如今写博客到第4个年头，终于将准备在今14年年底出版，书的目录和大纲基本确定，见github地址：https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/Readme.md，预计在今14年上半年之内写完剩下的章节，最快在今年年底便可以跟大家见面。如下图所示：

      

    感谢大家一直以来的不断支持，thanks。July、二零一四年一月二十二日。