【动态规划】【组合数学】1866. 恰有 K 根木棍可以看到的排列数目

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本文涉及知识点

动态规划汇总

LeetCode1866. 恰有 K 根木棍可以看到的排列数目

有 n 根长度互不相同的木棍，长度为从 1 到 n 的整数。请你将这些木棍排成一排，并满足从左侧 可以看到 恰好 k 根木棍。从左侧 可以看到 木棍的前提是这个木棍的 左侧 不存在比它 更长的 木棍。
例如，如果木棍排列为 [1,3,2,5,4] ，那么从左侧可以看到的就是长度分别为 1、3 、5 的木棍。
给你 n 和 k ，返回符合题目要求的排列 数目 。由于答案可能很大，请返回对 109 + 7 取余 的结果。
示例 1：
输入：n = 3, k = 2
输出：3
解释：[1,3,2], [2,3,1] 和 [2,1,3] 是仅有的能满足恰好 2 根木棍可以看到的排列。
可以看到的木棍已经用粗体+斜体标识。
示例 2：
输入：n = 5, k = 5
输出：1
解释：[1,2,3,4,5] 是唯一一种能满足全部 5 根木棍可以看到的排列。
可以看到的木棍已经用粗体+斜体标识。
示例 3：
输入：n = 20, k = 11
输出：647427950
解释：总共有 647427950 (mod 109 + 7) 种能满足恰好有 11 根木棍可以看到的排列。
提示：
1 <= n <= 1000
1 <= k <= n

动态规划

原理

n根木棍,枚举最后一个木棍：
{ 相比 n − 1 根木框，多看到一根木框 最后一根木棍是 n 相比 n − 1 根木框，看到相同的木框 最后一根木棍不是 n {相比n−1根木框，多看到一根木框最后一根木棍是n相比n−1根木框，看到相同的木框最后一根木棍不是n

{相比n−1根木框，多看到一根木框相比n−1根木框，看到相同的木框​最后一根木棍是n最后一根木棍不是n​
假定最后一个木框是j ，由于它在木棍n之后，所以必定看不到。删除j，不影响结果。删除后，将大于等于j的木棍减少1，就是1到n-1的一个排列。

动态规划的状态表示

pre[j] 表示i-1根木框，能看到j根木棍的可能数。
dp[j] 表示i+1根木框，能看到j根木棍的可能数。

动态规划的转移方程

处理最后一个木棍为n:
dp={0} dp += pre;
处理最后一根木棍不是n:
dp[j] += pre[j]*(i-1)
除了初始状态，其它状态pre[0]都为0。

初始状态

pre = {1}

动态规划的填表顺序

i从0到大。

动态规划的返回值

pre[k]

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

class Solution {
public:
	int rearrangeSticks(int n, int k) {
		vector<C1097Int<> > pre = { 1 };
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			vector<C1097Int<>> dp = { 0 };
			dp.insert(dp.end(), pre.begin(), pre.end());//最后一根木棍是 i
			for (int j = 1; j < pre.size(); j++)
			{//最后一根木棍是[1,i)
				dp[j] += pre[j] * (i - 1);
			}
			pre.swap(dp);
		}
		return pre[k].ToInt();
	}
};
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测试用例


template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}

}

int main()
{	
	int n, k;
	{
		Solution sln;
		n =3 ,k=2 ;
		auto res = sln.rearrangeSticks(n, k);
		Assert(res, 3);
	}
	{
		Solution sln;
		n = 5, k = 5;
		auto res = sln.rearrangeSticks(n, k);
		Assert(res, 1);
	}
	{
		Solution sln;
		n = 20, k = 11;
		auto res = sln.rearrangeSticks(n, k);
		Assert(res, 647427950);
	}
}
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2023年2月

class C1097Int
{
public:
C1097Int(int iData = 0) :m_iData(iData)
{

 }
 C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
 {
	 return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % s_iMod);
 }
 C1097Int&  operator+=(const C1097Int& o)
 {
	 m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % s_iMod;
	 return *this;
 }
 C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
 {
	 return((long long)m_iData *o.m_iData) % s_iMod;
 }
 C1097Int&  operator*=(const C1097Int& o)
 {
	m_iData =((long long)m_iData *o.m_iData) % s_iMod;
	 return *this;
 }
 int ToInt()const
 {
	 return m_iData;
 }
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private:
int m_iData = 0;;
static const int s_iMod = 1000000007;
};

int operator+(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iRet;
}

int& operator+=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iData;
}

int operator*(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator*(C1097Int(iData)).ToInt();
return iRet;
}

int& operator*=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator*(C1097Int(iData)).ToInt();
return iData;
}

template
void MinSelf(T* seft, const T& other)
{
*seft = min(*seft, other);
}

template
void MaxSelf(T* seft, const T& other)
{
*seft = max(*seft, other);
}

int GetNotRepeateNum(int len, int iHasSel)
{
if (0 == len)
{
return 1;
}
if ((0 == iHasSel) && (1 == len))
{
return 10;
}
int iRet = 1;
if (iHasSel > 0)
{
for (int tmp = 10 - iHasSel; (tmp >= 2)&& len ; tmp–,len–)
{
iRet *= tmp;
}
}
else
{
iRet *= 9;
len–;
for (int tmp=9; (tmp>=2)&&len; len–,tmp–)
{
iRet *= tmp;
}
}
return iRet;
}

int GCD(int n1, int n2)
{
int t1 = min(n1, n2);
int t2 = max(n1, n2);
if (0 == t1)
{
return t2;
}
return GCD(t2%t1, t1);
}

void CreateMaskVector(vector& v,const int* const p,int n )
{
const int iMaxMaskNum = 1 << n;
v.resize(iMaxMaskNum);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
v[1 << i] = p[i];
}
for (int mask = 1; mask < iMaxMaskNum ; mask++)
{
const int iSubMask = mask&(-mask);
v[mask] = v[iSubMask] + v[mask-iSubMask];
}
}

class Solution {
public:
int rearrangeSticks(int n, int k) {
vector pre(k + 1);
pre[0] = 1;
for (int iN = 1; iN <= n; iN++)
{
vector dp(k + 1);
for (int j = 1; j <= k; j++)
{
dp[j] = pre[j - 1] + pre[j] * (iN - 1);
}
pre.swap(dp);
}
return pre[k].ToInt();
}
};

2023年9月

class Solution {
public:
int rearrangeSticks(int n, int k) {
vector> pre = { 1 };
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
vector> dp(i + 1);
for (int j = 0; j < pre.size(); j++)
{
dp[j + 1] += pre[j];
dp[j] += pre[j] * (i - 1);
}
pre.swap(dp);
}
return pre[k].ToInt();
}
};

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视频课程

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我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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