本文涉及知识点

最大公约数 调和级数

LeetCode2183. 统计可以被 K 整除的下标对数目

给你一个下标从 0 开始、长度为 n 的整数数组 nums 和一个整数 k ，返回满足下述条件的下标对 (i, j) 的数目：
0 <= i < j <= n - 1 且
nums[i] * nums[j] 能被 k 整除。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3,4,5], k = 2
输出：7
解释：
共有 7 对下标的对应积可以被 2 整除：
(0, 1)、(0, 3)、(1, 2)、(1, 3)、(1, 4)、(2, 3) 和 (3, 4)
它们的积分别是 2、4、6、8、10、12 和 20 。
其他下标对，例如 (0, 2) 和 (2, 4) 的乘积分别是 3 和 15 ，都无法被 2 整除。
示例 2：
输入：nums = [1,2,3,4], k = 5
输出：0
解释：不存在对应积可以被 5 整除的下标对。
提示：
1 <= nums.length <= 10⁵
1 <= nums[i], k <= 10⁵

数学

如何判断x1*x2 能否被k整除。
方式一：
0 == x1$\times$ x2 $\%$ k
方式二：gcd(x1$\times$x2,k)== k
注意：x1$\times$x2 超过了int范围。
那些数乘以x2能被k整除？
是k/gcd(k,x2) 的倍数。

题解

cnt[x]记录x出现的次数。
cnt2[x] 记录x的正数倍数出现次数。时间复杂度:O(nlogn) 调和级数。
枚举nums个元素，累加能乘以nums[i]被k整除的数量。
如果nums[i]*nums[i] 能被k整除，需要扣除。扣掉后，余下的数量是j< j或i > j，两者数量相等，故除以2.
时间复杂度：O(nlogn)

代码

核心代码

class Solution {
public:
	long long countPairs(vector<int>& nums, int k) {
		const int iMax = *std::max_element(nums.begin(), nums.end());
		vector<int> cnt(iMax + 1);
		for (const auto& n : nums) {
			cnt[n]++;
		}
		vector<int> cnt2(k + 1);
		for (int i = 1; i <= k; i++) {
			for (int x = i; x <= iMax; x += i) {
				cnt2[i] += cnt[x];
			}
		}
		long long llRet = 0;
		for (const auto& n : nums) {
			llRet += cnt2[k / gcd(n, k)];
			if (((long long)n * n >= k) && (0 == (long long)n * n % k)) {
				llRet --;
			}
		}
		return llRet / 2;
	}
};

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测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{

    assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
    if (v1.size() != v2.size())
    {
        assert(false);
        return;
    }
    for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
    {
        Assert(v1[i], v2[i]);
    }

}

int main()
{
	vector<int> nums;
	int k;
	{
		Solution sln;
		nums = { 2,2,10 }, k = 4;
		auto res = sln.countPairs(nums, k);
		Assert(3LL, res);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { 1,2,3,4,5 },k=2;
		auto res = sln.countPairs(nums,k);
		Assert(7LL, res);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { 1,2,3,4 }, k = 5;
		auto res = sln.countPairs(nums, k);
		Assert(0LL, res);
	}

}

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扩展阅读

视频课程

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相关下载

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。