推荐|【唯一分解定理数学】1808好因子的最大数目

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LeetCode1808. 好因子的最大数目

给你一个正整数 primeFactors 。你需要构造一个正整数 n ，它满足以下条件：
n 质因数（质因数需要考虑重复的情况）的数目不超过 primeFactors 个。
n 好因子的数目最大化。如果 n 的一个因子可以被 n 的每一个质因数整除，我们称这个因子是好因子。比方说，如果 n = 12 ，那么它的质因数为 [2,2,3] ，那么 6 和 12 是好因子，但 3 和 4 不是。
请你返回 n 的好因子的数目。由于答案可能会很大，请返回答案对 109 + 7 取余的结果。
请注意，一个质数的定义是大于 1 ，且不能被分解为两个小于该数的自然数相乘。一个数 n 的质因子是将 n 分解为若干个质因子，且它们的乘积为 n 。
示例 1：
输入：primeFactors = 5
输出：6
解释：200 是一个可行的 n 。
它有 5 个质因子：[2,2,2,5,5] ，且有 6 个好因子：[10,20,40,50,100,200] 。
不存在别的 n 有至多 5 个质因子，且同时有更多的好因子。
示例 2：
输入：primeFactors = 8
输出：18
提示：
1 <= primeFactors <= 10⁹

唯一分解定理

令 n = a1^b1a2^b2 $\dots$
a1,b1 $\dots$ 都是质因数，b1,b2 $\dots$ 是对应质因数的数量。
则：y = a1^x1a2^x2 $\dots$
x1 $\in$ [1,b1] x2 $\in$ [1,b2] 都是好因子。
故好因子的数量为：b1*b2 $\dots$
显然bi不会大于3，否则拆分成2和bi-2 更优或相等。
显然也不会有3个2,否则拆分3 $\times$ 3 更优。
除非n 为1,否则b1不会为1。否则任意一个bj相加。
1 == n $\%$ 3 ， 2个2，其它全部3。
2 == n $\%$ 3 ，1个2，其它全部3。

代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

class Solution {
public:
	int maxNiceDivisors(int primeFactors) {
		if (1 == primeFactors) { return 1; };
		C1097Int<> biRet = 1;
		if (1 == primeFactors % 3) {
			biRet *= 4;
			primeFactors -= 4;
		}
		if (2 == primeFactors % 3) {
			biRet *= 2;
			primeFactors -= 2;
		}
		biRet *= C1097Int<>(3).pow(primeFactors / 3);
		return biRet.ToInt();
	}
};

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
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我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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