【状态机dp 状态压缩 分组】1994. 好子集的数目

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动态规划 状态机dp 状态压缩 分组

LeetCode1994. 好子集的数目

给你一个整数数组 nums 。如果 nums 的一个子集中，所有元素的乘积可以表示为一个或多个 互不相同的质数 的乘积，那么我们称它为 好子集 。
比方说，如果 nums = [1, 2, 3, 4] ：
[2, 3] ，[1, 2, 3] 和 [1, 3] 是 好 子集，乘积分别为 6 = 23 ，6 = 23 和 3 = 3 。
[1, 4] 和 [4] 不是 好 子集，因为乘积分别为 4 = 22 和 4 = 22 。
请你返回 nums 中不同的 好 子集的数目对 109 + 7 取余 的结果。
nums 中的 子集 是通过删除 nums 中一些（可能一个都不删除，也可能全部都删除）元素后剩余元素组成的数组。如果两个子集删除的下标不同，那么它们被视为不同的子集。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3,4]
输出：6
解释：好子集为：

  • [1,2]：乘积为 2 ，可以表示为质数 2 的乘积。
  • [1,2,3]：乘积为 6 ，可以表示为互不相同的质数 2 和 3 的乘积。
  • [1,3]：乘积为 3 ，可以表示为质数 3 的乘积。
  • [2]：乘积为 2 ，可以表示为质数 2 的乘积。
  • [2,3]：乘积为 6 ，可以表示为互不相同的质数 2 和 3 的乘积。
  • [3]：乘积为 3 ，可以表示为质数 3 的乘积。
    示例 2：
    输入：nums = [4,2,3,15]
    输出：5
    解释：好子集为：
  • [2]：乘积为 2 ，可以表示为质数 2 的乘积。
  • [2,3]：乘积为 6 ，可以表示为互不相同质数 2 和 3 的乘积。
  • [2,15]：乘积为 30 ，可以表示为互不相同质数 2，3 和 5 的乘积。
  • [3]：乘积为 3 ，可以表示为质数 3 的乘积。
  • [15]：乘积为 15 ，可以表示为互不相同质数 3 和 5 的乘积。

提示：

1 <= nums.length <= 105
1 <= nums[i] <= 30

原理

m = max(nums)，最大为30。
一，子集就是子序列。空子序列显然不符合要求。
二，1无法表示成质数相乘，所以乘积为1(全部为1的子序列)的忽略。
三，一二结合，先排除空序列，再处理1。
四，除1外，其它数最多只能选一次。1最后处理，排除空序列后，1可以任意选择。有x个1，就有2x种选法。
五，如果一个数包括两个质因数的平方，则忽略，如：4,8,16。

变量解释

m最大为30，故只需要考虑10个质因数。mask &(1 << i) 表示第i个质因数是否使用。
vPrime 记录前30个质数。
vMask[x] 记录x包括那些质数。
cnt[x] 记录x的个数。
vx记录[2,m]中不包括相同质因子的数。

超时的状态表示

dp[i][j] 表示处理了num前i个元素，j表示质因数的使用情况。空间复杂度：O(n 210) ≈ \approx ≈ 108
除一外，每个数字只会选择一次，故只需要考虑x是否被选择，如果被选择，需要数乘以cnt[x]，表示可以选择任意一个。

动态规划处理[2,m]

动态规划的状态表示

dp[i][j]表示已经处理了[2,i)，正在处理i ，质数使用情况为j的数量。
空间复杂度:O(210m)。

动态规划的转移方程

pre表示dp[i-1],dp表示dp[i]。
i不被选择dp = pre。
枚举前置状态。
如果!(iPre&vMask[x]) 也就两者没有相同的质因数
dp[iPre| vMask[x]] += pre[iPre]*cnt[x];
转移方程时间复杂度：O(1)，总时间复杂度：O(210m)

动态规划的初始状态

pre[0]=1，其它全部为0。

动态规划的返回值

auto biRet = std::accumulate(vPre.begin(), vPre.end(), C1097Int(-1));//排除空子集
	biRet *= C1097Int<>(2).pow(cnt[1]);
  • 1
  • 2

动态规划的填表顺序

i从2到m。

代码

vector<int> CreatePrime(int iMax)
{
	vector<int> vNo(iMax + 1);
	vector<int> vPrime;
	for (int i = 2; i <= iMax; i++)
	{		
		if (!vNo[i])
		{
			vPrime.emplace_back(i);
		}
		for (const auto& n : vPrime)
		{
			if( n * i > iMax )
			{
				break;
			}
			vNo[n * i] = true;
		}		
	}
	return vPrime;
}

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

class Solution {
public:
	int numberOfGoodSubsets(vector<int>& nums) {
		auto vPrime = CreatePrime(30);
		const int iMaskCount = 1 << vPrime.size();
		int vMask[31] = { 0 };
		for (int i = 1; i <= 30; i++) {
			for (int j = 0; j < vPrime.size(); j++) {
				if (0 != i % vPrime[j]) { continue; }
				vMask[i] |= (1 << j);
			}
		}
		int cnt[31] = { 0 };
		for (const auto& n : nums) {
			cnt[n]++;
		}
		vector<int> vx;
		for (int x = 2; x <= 30; x++)
		{
			bool bNeed = true;
			for (int j = 0; (j < vPrime.size()) && (vPrime[j] * vPrime[j] <= x);j++) {
				if (0 == x % (vPrime[j] * vPrime[j])) { bNeed = false; }
			}
			if (bNeed) { vx.emplace_back(x); }
		}
		vector<C1097Int<>> vPre(iMaskCount);
		vPre[0] = 1;
		for (auto x : vx) {
			vector<C1097Int<>> dp = vPre;
			for (int iPre = 0; iPre < iMaskCount; iPre++) {
				if (iPre & vMask[x]) { continue; }//质因数重复
				dp[iPre | vMask[x]] += vPre[iPre] * cnt[x];
			}
			vPre.swap(dp);
			auto biRet = std::accumulate(vPre.begin(), vPre.end(), C1097Int(-1));//排除空子集
			std::cout << "x:" << x << " " << biRet.ToInt() << std::endl;
		}	
		auto biRet = std::accumulate(vPre.begin(), vPre.end(), C1097Int(-1));//排除空子集
		biRet *= C1097Int<>(2).pow(cnt[1]);
		return biRet.ToInt();
	}
};
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测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{

    assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
    if (v1.size() != v2.size())
    {
        assert(false);
        return;
    }
    for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
    {
        Assert(v1[i], v2[i]);
    }

}

int main()
{
	vector<int> nums;
	{
		Solution sln;
		nums = { 1,1 };
		auto res = sln.numberOfGoodSubsets(nums);
		Assert(0, res);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { 1,2,3,4 };
		auto res = sln.numberOfGoodSubsets(nums);
		Assert(6, res);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { 4,2,3,15 };
		auto res = sln.numberOfGoodSubsets(nums);
		Assert(5, res);
	}

}
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扩展阅读

视频课程

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闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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